数理統計学第１７回西山前回までのポイント母平均（μ）の区間推定標準誤差が決め手。元の母集団の分散σ2はわからない。不偏推定を母分散のつもりで使う。正規分布の性質から標準値で割り切る。 95％信頼区間ならZが±２以内今日のポイント  不偏分散にもサンプル誤差がある  正規分布が正しく当てはまるわけではない  ステューデントのT分布を使う  T分布は正規分布とカイ二乗分布の子供であるサンプルから求めた不偏分散を、母集団の分散の代わりに使う T値の定義 T X  ˆ 2 n Gosset, W. S. 母集団のσ2に近ければ大したことではないデータ数が十分多ければよい 1906年にペンネームStudentでT分布の存在を発見しました T値は標準値とは違います！データ値母集団は N(170,10 ) 右のボタンを押してから分布の種類と毎回のデータ数、抽出反復回数を指 2 定してください。 176.47  170  1.45 データ1 100 データ2 173.68 175.80 5 Z 1回目 2回目 3回目 4回目 5回目 T 166.14 174.63 168.56 185.21 167.60 174.21 178.42 185.46 176.47  170  1.35 115.29 5 サンプルは実験開始！ 5人データ3 データ4 データ5 標本平均 162.41 172.88 170.54 171.06 173.54 156.80 176.06 168.03 179.96 165.47 162.86 171.43 156.45 166.28 183.43 170.63 174.02 159.31 178.34 176.47 Z 176.47  170 100 5 分散不偏推定 26.93 56.14 49.90 112.18 115.29  1.45 T値 0.46 -0.59 0.45 0.13 1.35 平均と分散の標本分布指定した値はμ＝170、σ2＝102、データ数は5個で反復カイ二乗分布正規分布標本分散の分布標本平均の分布 187.33 152.9773 169.9806 20.43845 0.007936 0.042042 <= 33 7. 89 18 9- 3.8 18 3. 46 データの分散の値 18 18 0.4 6- 0. 02 18 2- 7.0 17 9- 17 7. 59 17 3.5 17 3. 15 17 0.1 5- 0. 72 17 2- 6.7 16 8- 16 6. 28 16 3.2 16 3. 85 15 9.8 5- 9. 41 15 6. 1- 15 6.4 815 2.9 15 最大値最小値平均値分散歪み度尖り度 25 -5 0 75 -1 00 12 515 0 17 520 0 22 525 0 27 530 0 32 535 0 37 540 0 42 545 0 47 550 0 700 600 500 400 300 200 100 0 0 頻度 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 最大値最小値平均値分散歪み度尖り度 477.6252 0.448268 79.85362 3114.514 1.367639 2.805332 正規分布÷カイ二乗→T分布 T分布は正規分布とカイ二乗分布の子どもです。フィッシャーが1920年までに数学的基礎を与えました。フィッシャーの公式 T Fisher, R.A. Z  2 k Tの値は自由度ｋのT分布 k T値のイメージ標準値（正規分布） 0.5 0.5  0.45 5 4 カイ二乗値（自由度４) 5 自由度は４シグマハットを使った標準値はT値です ① ② X   2  Zとなって N (0,1) n  Xi  X        i 1   n 2   n21 ② ① はT値になるはず n 1 Fisherの公式 T分布の特徴 ±２以内とはいえない５個のサンプル＝自由度４ T値の標本分布平均値分散標準偏差最大値最小値 1200 1000 600 400 200 T値 9 8 ～ 7 6 ～ 5 4 ～ 3 2 ～ 1 0 ～ -1 ～ -3 2 ～ -5 4 ～ 6 ～ -7 0 8 頻度 800 0.0166 1.9796 1.4070 9.2665 -7.5530 T値の９５％区間、９０％区間これは自由度（n－1) ９０％圏９５％圏授業はここまで例題【１】ある高校の1年生からランダムに5名を選んで50メートル走の記録をとると、 12.32、15.28、14.19、13.72、13.26 だった。学年全体の平均を推定しなさい．信頼係数は95％とする。 X  13.75 ˆ  1.205 2 しばらくの間、不偏分散が学年全体の分散に一致していると、前提しますヒント：まず下の形で答えて下さい 0.95  P －①  T  ①      X     P－①   ① 2 ˆ    n   2 2   ˆ ˆ     P X  ①     X  ①   n n   自由度は、データ数－１例題【１】の解答 0.95  P－2.776  T  2.776 ←違いはここだけ     X     P－2.776   2.776 2 ˆ    n    1.205 1.205    P13.75  2.776    13.75  2.776  5 5   自由度は、5ー１＝４