数理統計学西山第3章前半のポイントサンプル平均値の確率分布《定理８》平均がμ、分散がσ2 である集団から無作為に取り出した n 個のデータを X 1 , X 2 , X n とし、データから求められる標本平均を X とおく。このとき、 X の標本分布の平均と分散はそれぞれ EX    2 V X   n 教科書106頁となる。常に、正規分布する定理１０＜中心極限定理＞ 112頁復習問題【１】統計学の定期試験の得点分布は、正規分布 N(55,152)が当てはまっている。（但し、担当教員本人はまだそのことを知らない）ランダムに何人かの答案を抜き出して平均点を求めてみる。設問に答えなさい。 1. 10人の平均点が50点未満になる確率はどの程度ありますか？ 2. 25人の平均点が50点未満になる確率はどの程度ありますか？復習問題の解答   55 分布図を描いて   15 2 2 50未満の面積を求めるサンプル10人 E X   55 2 225 V X     22.5 N 10 SDX   22.5  4.74 50  55 Z  1.05 4.74 今日のポイント標本分散S2の分布の特徴散布度の測り方：もう一つ教科書： 3.3節（119～127ページ）特に、不偏分散は重要！平均と分散の標本分布ここまで 6／7 母集団は、μ＝170、σ2＝102、データ数は5個で反復標本分散の分布標本平均の分布 700 600 500 400 300 200 100 0 最大値最小値平均値分散歪み度尖り度 25 -5 0 75 -1 00 12 515 0 17 520 0 22 525 0 27 530 0 32 535 0 37 540 0 42 545 0 47 550 0 <= 33 7. 89 正規分布でない 3.8 9- 18 3. 46 データの分散の値 18 18 0.4 6- 18 0. 02 17 7.0 2- 18 7. 59 17 3.5 9- 17 3. 15 17 0.1 5- 17 0. 72 16 6.7 2- 17 6. 28 16 3.2 8- 16 3. 85 16 9. 15 9.8 5- 15 1- 6.4 15 15 2.9 8- 15 6. 41 0 頻度 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 187.33 152.9773 169.9806 20.43845 0.007936 0.042042 最大値最小値平均値分散歪み度尖り度 477.6252 0.448268 79.85362 3114.514 1.367639 2.805332 S2は母集団とバイアスあり！式で書くと   ES 2 n 1 2   n いまの例で言うと   ES 2 4 2   10  80 5 データから分散を計算すると、実際には 100でも80前後の値になる・・・バイアスが生じる理由母集団です簡単な計算で確認できます 5  X i 1  170  2 i 真の偏差二乗和   X i 1 5  X i 1   X 5  X  X  170 i  X   5  X  170 2 2 2  X     X i  170  5  X  170 2 i i 5 i 1 偽の偏差二乗和 5 2 2 i 1 2 10 2 E偏差二乗和  5 10  5   4 10 5 2 不偏分散の利用目的言葉の定義どおりだと 1 2 S  N  X N i 1  X 2 i 母集団の分散を知りたいなら N 1 2 2 ˆ X i  X     N  1 i 1   E ˆ 2   2 不偏分散、と呼んでいます【例題１】二つの分散の違いランダムに5個のデータをとると１，２，３，４，５ ★ このデータの分散は二乗偏差の合計 10 S   2 データ数 5 2 ★ このデータはどんな分散をもつ母集団からとられたか二乗偏差の合計 10 ˆ    2.5 データ数－１ 4 2 【例題２】目の数のばらつきさいころを5回振って、目の数の分散を求める。この値は2.92位になるか？１から６まで同じ割合で出るとき、分散は2.92 母集団の分散平均二乗偏差は 4 E S    2.92  2.34 5 2 【例題３】ある高校の1年からランダムに5名を選んで100 メートル走の記録をとると、 12.32、15.28、14.19、13.72、13.26 だった。学年全体の分散はいくら位か見当がつくだろうか？ヒント X  13.754 S 2  0.964 例題【２】の解答合計平均分散推定記録（X) 12.32 15.28 14.19 13.72 13.26 68.770 13.754 偏差 -1.434 1.526 0.436 -0.034 -0.494 0.000 0.000 二乗偏差 2.056356 2.328676 0.190096 0.001156 0.244036 4.820 0.964 1.205 0.964×5÷4 です 4.820÷（5－1）