数理統計学西山前回までの要点ランダムにとったサンプルの平均値は正規分布に従います。その正規分布の特徴は定理８につきます。他方、サンプルの分散は下方バイアスをもっています。第4章では不偏分散が大事です。平均と分散の標本分布母集団は、μ＝170、σ2＝102、データ数は5個で反復標本分散の分布標本平均の分布 700 600 500 400 300 200 100 0 最大値最小値平均値分散歪み度尖り度 25 -5 0 75 -1 00 12 515 0 17 520 0 22 525 0 27 530 0 32 535 0 37 540 0 42 545 0 47 550 0 <= 33 7. 89 カイ二乗分布の形 3.8 9- 18 3. 46 データの分散の値 18 18 0.4 6- 18 0. 02 17 7.0 2- 18 7. 59 17 3.5 9- 17 3. 15 17 0.1 5- 17 0. 72 16 6.7 2- 17 6. 28 16 3.2 8- 16 3. 85 16 9. 15 9.8 5- 15 1- 6.4 15 15 2.9 8- 15 6. 41 0 頻度 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 187.33 152.9773 169.9806 20.43845 0.007936 0.042042 最大値最小値平均値分散歪み度尖り度 477.6252 0.448268 79.85362 3114.514 1.367639 2.805332 S2は母集団分散に対してバイアスあり！式で書くと   ES 2 n 1 2   n いまの例で言うと   ES 2 4 2   10  80 5 データから分散を計算すると、実際には 100でも80前後の値になる・・・バイアスが生じる理由母集団です簡単な計算で確認できます 5  X i 1  170  2 i 真の偏差二乗和   X i 1 5  X i 1   X 5  X  X  170 i  X   5  X  170 2 2 2  X     X i  170  5  X  170 2 i i 5 i 1 偽の偏差二乗和 5 2 2 i 1 2 10 2 E偏差二乗和  5 10  5   4 10 5 2 不偏分散の利用目的教科書127ページ言葉の定義どおりだと 1 2 S  N  X N i 1  X 2 i 母集団の分散を知りたいなら N 1 2 2 ˆ X i  X     N  1 i 1   E ˆ 2   2 不偏分散、と呼んでいます【例題１】二つの分散の違いランダムに5個のデータをとると１，２，３，４，５ ★ このデータの分散は二乗偏差の合計 10 S   2 データ数 5 2 ★ このデータはどんな分散をもつ母集団からとられたか二乗偏差の合計 10 ˆ    2.5 データ数－１ 4 2 「カイ二乗」の意味とイメージ 2個のサイコロを振って出た目を二乗する２６二乗の合計に着目します 22+62 = 40 自由度は２カイ二乗値の定義 2枚の札をとりだします。それから二乗して加えます。 Z Z 2 1 ０．２ 2 2 ー０．７ 0.22+(-0.7)2 = 0.53 自由度が２のカイ二乗値カイ二乗値の確率分布 → カイ二乗分布ここまで６／９   V    2 自由度 E  自由度 2 何個の二乗を足すかによります 2 Karl Pearson カイ二乗値Ｋは自由度。教科書123頁その他の正規分布ではどうするか 2個のサンプルをとりだします。それから標準化して二乗和をとります。平均： μ＝170 標準偏差： σ＝10 1  X  170   X  170    X  170       10   10  100 2 2 2 1 2 2 i 1 ２個のZの二乗和自由度が２のカイ二乗値 i カイ二乗分布応用の鍵：定理１４平均値にとっての定理８に該当母集団（正規）サンプル： μ＝１７０ σ2＝１００ X1, X 2, ..., X n Z2が1個少ない 1 n 2 X i  X   100 i 1   n21 教科書124～125頁 μ＝１７０前にやった計算です・・・① n  X i 1   2 i σ2＝１００データをｎ個とって、真の偏差二乗和 2   X i  X  X    n i 1 2    X i  X   2 X i  X X     n X    n n i 1 2 i 1 2 ゼロになります    X i  X   n X    n 2 i 1   X 2 n i 1 i 2  X     X i     n X    n i 1 2 これが大事 μ＝１７０前のつづき 1  2  X 2 n i 1 σ2＝１００ i X  Xi    1  2  X i 1 i    n  2 X    2 は標準値 Zになっている  X       X     2 n  2   n 2 n 2 2  これも１個の標準値 Z2の個数はn個でなく、n－1個になる → 自由度ｎ－1のカイ二乗サンプル分散S2の期待値と分散は？ S μ＝１７０ 2 1 2   X i  X  n i 1 n σ2＝１００標準値でみる 2 1 n 2 平均の分布 X i  X   2  n  i 1 カイ二乗値でみる 2 n 分散の分布 2  X X     n i i 1  2 n  n21  教科書126～127頁【実力問題】前のスライドを参考に次の問に答えなさいサンプル分散S2の期待値を求めてください。   ES 2 サンプル分散S2の分散を求めてください。   VS 2 教科書126～127ページ