モジュール1のまとめ

統計学
第５回
西山
第４回のまとめ
連続型の確率分布
一様分布
正規分布 N（平均、分散）
１限目
正規分布の確率の求め方
1. 標準値に直す ⇒ 平均０、分散１
2. 数値表の使い方
連続型の確率分布
確率密度
１
面積で確率を示す
平均と分散の計算
２限目
ここから
期待値＝値×確率の合計、に違いはなし
Ｘの値を０から１までベターっと、値×確率を合計すると・・・
1
 x2  1
EX    x 1dx    
0
 2 0 2
1
さいころなら
 
 
E X2
1
x3
1
2
  x 1dx


6 3 3
0
 0
1
1
EX    x  1  13 .51
V X   E X   E X  6    
x 1
3  2  12
2
2
 SDX  
1
 0.29
12
2
正規分布も連続型！
N(130、400）
血圧150以上の
面積が割合（＝
人は全体の6分
確率）です。全
体は面積１です
の１位だと示さ
れています
X
教科書：83頁
正規分布の利用法①―標準値
1. 標準値にする．
2. 数値表を使う．
標準値をZとか、S.S.といいますが・・・
Xの値－ Xの平均値 X  E X 
標準値＝
＝
Xの標準偏差
SDX 
血圧分布―①標準値とは
N(130、400）


150
1
2  20
e
1  x 130 
 

2  20 
2
dx
この積分計算は面倒すぎる！
X
血圧分布を例にとると
N(130、400）
平均と同じなら
(１３０－１３０)÷２０
だから標準値は０
血圧１５０の標準値
標準軸から分布を
標準値が１を超え
は
みると平均０、標準
る人は全体の何％
(１５０－１３０)÷２
偏差１になります
いるだろうか？
０だから１となる
X
正規分布の利用法②―数値表
N(0,1）
教科書の258頁
を見なさい
S.Sが1.0以上にな
る確率です！
練習問題【１】
１．一様分布U[0,1]に従う確率変数Xから新たにY=2X+1
のように変数Yを定義する。E[Y]とV[Y]を求めなさい．
２．日本人の身長は正規分布N(168,100)に従っているとされる．
確率P(158 ≦ X ≦ 178)を求めなさい．この範囲を１シグマ区間
といいます．
３．問題２と同じ正規分布でXの値が２シグマ区間に入る確率と３
シグマ区間に入る確率を求めなさい。２シグマ区間とは標準
値が－2から＋2までの区間のこと。
１の解答
EX   0.5
1
V X  
12
SDX   1 / 12  0.29
２の解答（あとは同じです）
標準値に直さないといけません
身長の分布は平均 168、分散 100、標準偏差 10．だから
158 の標準値は Z 
158  168
 1
10
178  168
1
178 の標準値は Z 
10
3人に2人は普通圏内
（1シグマ区間）に入る
ってことです
よって
P158  X  178  P 1  Z  1  1  2  0.15866 0.68
１シグマ区間：平均圏、２シグマ区間：ほぼ大半、３シグマ区間：上限と下限
練習問題【２】
統計学の試験の平均点は65点、標準偏差は1５点だった。以下
の設問に答えなさい。
１．得点80点を標準化するといくらになりますか？
２．標準値2.0となる得点は何点ですか？また、標準値が－1.0となる
得点は何点ですか？
３．何点から何点までなら普通ですかと聞かれたら、どう解答すれ
ばいいですか？
４．分布の形がほぼ正規分布とすれば、80点以上の人は全体の何
％程度いると思いますか？
練習問題【３】
変数Xは、０から１までの一様分布にしたがって確率分布している。いま、
Y=０×X+１０のように変数Yを定義する。E[Y]とV[Y]を求めなさい。また、
Xの分布とYの分布の対応を図でわかりやすく説明しなさい。
EY   E0 X  10  0EX   10  10
V Y   V 0 X  10  0 V X   0
2
要するに、常にY=10

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