統計学西山前回の続き練習問題【２】＜合計の問題＞旅客機利用客の体重は、全体として平均55Kg、標準偏差10Kgで正規分布していると言われる。では、定員400人が満席の時の旅客総ウェイトの最大値をいくらと見込むとよいか？次回この問題から６／11 合計値と平均値は本質的に同じ問題総ウェイト＝ 400  （400人の平均体重 ) 定理８―母集団の確認から   55   10 2 2 正規分布の 3シグマの法則 400人がサンプル E  X   55 100 V X    0.25 400 10 SD X    0.5 400 平均56.5Kgを超えないはず！合計は２２６００Kg -5 3. 53 .83 83 -5 4. 54 .14 14 -5 4. 54 .44 44 -5 4. 54 .75 75 -5 5.0 55 5 .05 -5 5. 55 .35 35 -5 5. 55 .66 66 -5 5. 55 .96 96 -5 6. 56 .26 26 -5 6.5 7 53 .53 解答 400人の平均体重ではコンピューター実験で解答しましょう・・・400人のデータ抽出を1000回反復標本平均の分布 250 200 150 100 50 0 最大値最小値平均値分散 56.56709 53.53117 55.00031 0.256368 【まとめ】ルートNの法則全体（＝母集団）としては平均がμ、標準偏差がσ N個のサンプルをとると定理８合計値ゲタの公式期待値  N   標準偏差  N   平均値＝合計÷N 期待値   標準偏差   N 合計を直接予測する＜ルートN法則＞ 1人ずつを見ると、平均55Kg、標準偏差10Kg 400人の合計は？平均値＝400  55  22000 標準偏差  400 10  200 正規分布を当てはめて、最大２２０００＋３×２００、２２６００Kgまで０‐１データの平均値社会全体で視聴率が３０％である人気ドラマがある。100世帯（＝100台）のTVを無作為に選んで、視聴率調査をする場合、結果として得られる数字は、どんな範囲におさまるだろうか。これはスキップするかもしれません解答・・・① 30人はみて、70人は見ていないと回答するサみた＝１、みない＝００、１データの合計＝  （標本）視聴率１の数データの合計  X 100 サンプル平均の確率法則を使え０‐１母集団と０‐１サンプル０、１サンプルの母集団は？視聴率は母平均μのこと母集団の特徴 EX   0.3   V X   0.3  0.7  0.21   2 ノーマル法則を使う母集団の分布   0.3   0.21 2 E X     0.30 100人  0.21 V X     0.0021 n 100 SDX   0.0021 0.046 2 反復実験してみると 100個の０‐１データの平均値は？ 3000回データ抽出を反復しました．最大値： 0.45 最小値： 0.15 平均： 0.3002 分散： 2.037346e-03 標準偏差： 0.0451 サンプル誤差この反復結果が理論通りか、前のスライドを確認しておいてください第3章・2番目の要点標本分散S2の分布の特徴分散の求め方に二通りあり教科書： 3.3節（119～127ページ）特に、分散の不偏推定式は重要！平均と分散の標本分布指定した値はμ＝170、σ2＝102、データ数は5個で反復カイ二乗分布標本平均の分布 700 600 500 400 300 200 100 0 187.33 152.9773 169.9806 20.43845 0.007936 0.042042 <= 33 7. 89 18 9- 3.8 18 3. 46 データの分散の値 18 18 0.4 6- 0. 02 18 2- 7.0 17 9- 17 7. 59 17 3.5 17 3. 15 17 0.1 5- 0. 72 17 2- 6.7 16 8- 16 6. 28 16 3.2 16 3. 85 最大値最小値平均値分散歪み度尖り度 5- 9. 15 9.8 15 1- 6.4 15 15 2.9 8- 15 6. 41 0 頻度 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 不偏標本分散の分布 25 -5 0 75 -1 00 12 515 0 17 520 0 22 525 0 27 530 0 32 535 0 37 540 0 42 545 0 47 550 0 正規分布最大値最小値平均値分散歪み度尖り度 477.6252 0.448268 79.85362 3114.514 1.367639 2.805332 偏り（バイアス）なぜ分散は小さくなる？母集団です 170 ２ S ：バイアスの計算 5  X i 1  170  2 i 真の偏差二乗和   X i 1 5  X i 1   X 5 i 1  X  X  170 i  X   5  X  170 2 2 2  X     X i  170  5  X  170 2 i i 5 5 2 2 i 1 データの偏差二乗和上の両辺を５で割ってから、期待値を求めてください。 S2は下方バイアスをもちます式で書くと   ES 2 n 1 2   n 教科書162ページの（4.19）式までに説明されています。いまの例で言うと   ES 2 4 2   10  80 5 データから分散を計算すると、実際には100でも80前後の値になる・・・不偏分散を使うとき言葉の定義どおりだと 1 2 S  N  X N i 1  X 2 i 母集団の分散を知りたいなら不偏分散、と呼んでいます N 1 2 2 X i  X  ˆ   N  1 i 1   2 2 ˆ E  【例題】不偏分散を使うときランダムに5個のデータをとると１，２，３，４，５ ★ このデータが母集団；ほかにはない二乗偏差の合計 10 S   2 データ数 5 2 ★ これはサンプル；どんな母集団からとられたか？ ˆ 2  二乗偏差の合計 10   2.5 データ数－１ 4 練習問題：推定入門＜点推定＞ある高校の1年からランダムに5名を選んで100メートル走の記録をとると、 12.32、15.28、14.19、13.72、13.26 だった。学年全体の平均値、分散はいくら位でしょう？ X  13.754 S  0.964 2 Ⅰ限：イントロ済 Ⅱ限：ここから解答：バイアスをとって推定する点推定‐誤差は無視合計平均分散推定記録（X) 12.32 15.28 14.19 13.72 13.26 68.770 13.754 偏差 -1.434 1.526 0.436 -0.034 -0.494 0.000 0.000 二乗偏差 2.056356 2.328676 0.190096 0.001156 0.244036 4.820 0.964 これはS2だから小さめのはず！ 1.205 5  4.820÷（5－1）  0.964   4 