光情報処理徳山高専情報電子工学科原田徳彦光情報処理の応用 CGHを用いた光ファイバ多モード励振実験数学的な準備 • • • • • 複素数フーリエ変換標本化定理線形・時間不変のシステム２次元フーリエ変換オイラーの公式 e ix  cos x  i sin x 複素数は、実数の演算を継承しつつ、自乗すれば-1となる特別な文字式 i を導入しました。その結果、オイラーの公式をはじめとする様々な複素数の性質が発見されています。問題 Im p r θ 0 Re 複素平面上の点pに対応する複素数を示せ。 Im p r sinθ r θ 0 点pの座標は（r cosθ, r sinθ） r cosθ Re 複素数はオイラーの公式より r cosθ + i r sinθ = r(cosθ+ i sinθ ） = r exp(iθ）問題 (a) i (b) i i Im 0 Re 2 (c) i  複素数に対応する複素平面上の点を示せ。フーリエ変換 G( f )     g(x)e i2 fx dx  g( x)   G( f )e    e     i 2f1x i 2f 2 x e g ( x )e i 2fx i 2fx df （逆フーリエ変換） dx   ( f1  f 2 ) （直交性）  j 2x i 2fx   dx    G ( )e d e dx        i 2 x i 2fx    G ( )  e e dx d         G ( ) (  f )d   G( f ) （フーリエ変換）２次元フーリエ変換   G( f x , f y )   g ( x , y ) e   i 2 ( f x x  f y y ) dxdy 物理的な準備 • • • • • マクスウェル方程式波動方程式ヘルムホルツ方程式平面波球面波マクスウェル方程式(1) H y H x E z   Jz   x y t H z H y E x   Jx   y z t E y H x H z   Jy   z x t マクスウェル方程式(2) E y E x H z    x y t E z E y H x    y z t H y E x E z    z x t 波動方程式 u u u 1u    2 2 2 2 x y z c t 2 2 2 u は Ex など E または H の一方向成分 2  光のゆらぎの数式表現 u(x, y,z,t)  A(x, y,z)cos[2t   (x, y,z)] u(x,y,z,t)  Reu(x,y,z)e i2t  ヘルムホルツ方程式 u u u 2    k u 2 2 2 x y z 2 2 2 波数-波長-周波数-光速 k  2   c  2  平面波 u  Ae ik r u  Ae  Ae ik r i ( k x xk y y kz z )  u  u  u 2     k u 2 2 2 x y z 2 2 2 球面波 ikr e uA r フーリエ変換の物理的解釈   U( f x , f y )   A e      k  i 2   f x  x  2  ky    x  f y  2   ky  kx  A  f x  , fy  2 2     y     dxdy    平面波を z = 0 の面でフーリエ変換するとδ関数となります。これは、フーリエ変換の基底関数が平面波そのものであることを意味しています。 z軸方向への伝搬式 u ( x, y , z )      U  f x , f y e   i 2z e   2 1 f x 2  f y 0 dfx df y  i 2 f x x  f y y  ホイヘンス-フレネル回折式 1 u(x1, y1,z1)  i    ikr01 z1e ux 0, y0,0 r 2 dx0dy0 01  フレネル近似 ikz1 e u(x1, y1,z1)  iz1 e   ux , y ,0      0 k i (x1 x 0 )2 (y1 y 0 )2 2z1 0  dx0 dy0 フランホーファ近似 u(x1, y1,z1 )  ikz1 e e k i (x1 2 y1 2 ) 2z1 iz1 e 2 i (x1 x 0 y1 y 0 ) z1   ux , y ,0     dx0 dy0 0 0 レンズ（位相変換素子） t(x, y)  e ik 0 ik(n1)(x,y) e 近軸近似 tl ( x, y)  e ikn0 e k 2 2 i ( x  y ) 2f レンズ後焦点面の分布 0 f i u( x f , y f , f )  i e 2 ( x f x0  y f y 0 ) f e k (xf 2  y f 2 ) 2f i f dx0 dy0       At o x0 , y0  u0 ( x0 , y0 ,0)  U0  f x , f y  i u f (x f , y f , f )  H ( fx, f y )  e e ikf ikf e e e k (xf 2  y f 2 ) 2f if  xf yf  U0  ,   f f   i f ( f x 2  f y 2 )  i f ( f x 2  f y 2 ) U f ( f x , f y )  U0  f x , f y   xf yf  1 u f (x f , y f , f )  U  f  ,  if  f f  レンズ前後焦点面の分布 -f 0 f 1 u( x f , y f , z f )  i f i e 2 ( x f x f  y f y  f ) f       dx f dy f u  f x f , y f , f  合成開口レーダー s1 (t )  1e  2r  i 2f r  t    c  散乱物体に当たって返ってくる信号の式です。σは反射強度や位相シフトを表しています。 ( x  x1 ) r  r1  ( x  x1 )  r1  2r1 2 2 2 s1 (t )   1 ( x1 , r1 )e 2  4  r 2  ( x  x ) 1 i  2f r t  1  r r r1      x  va t s(t )   s n (t )   1 ( xn , r1 )e n n 2  2  ( v t  x ) 4  r a n i  2f r t  1  r r r1     