PowerPoint プレゼンテーション

第５課輻射の方程式ＩＩ
平成１６年１１月８日
講義のファイルは
http//www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
に置いてあります。
レポート提出は出題の次の授業が原則ですが、それ以降でも構いま
せん。単位が欲しい人は５つ以上のレポートを提出して下さい。とにか
く全部のレポートを頑張って出した人には良い点が与えられます。
Ｍ２その他で単位認定を急ぐ人は申し出て下さい。
５．１．輻射強度のモーメント
ｎ
I(x,θ,φ）＝ I(x,θ）輻射が軸対称の時、μ＝cosθとして、
Ｎ次モメント MＮを以下のように定義する。
Ω
ＭＮ（x, λ）＝(1/4π)∫(cosθ)Ｎ I (θ, x, λ) dΩ
＝(1/4π) ∫∫ (cosθ)Ｎ I (θ, x,λ) (sinθ) dφdθ
θ
＝(1/2)∫μＮ I (μ, x, λ)dμ
０次モーメント
Ｍ0（x,λ）＝ (1/4π)∫I (μ, x, λ) dΩ
Ｘ
＝ (1/2)∫I (μ, x, λ) dμ
= J （x,λ）
＝ mean intensity (平均輻射強度)
光子の密度関数ｎ（Ω）と輻射強度Ｉ（Ω）は、Ｉ（Ω）＝ｃｈνｎ（Ω）の関係がある。
輻射のエネルギー密度ｕは、u = ∫hνｎ（Ω）dΩ で与えられる。よって、
ｕ＝（１/ｃ）∫ｃ・hνｎ（Ω）dΩ＝（１/ｃ）∫ＩｄΩ＝（４π/ｃ）Ｊ
１次モーメント
Ｍ1（x,λ）＝ (1/4π)∫cosθI(θ,x,λ) dΩ
＝ (1/2)∫μI(μ, x,λ) dμ
= H（x,λ）
X点でのｎ方向へのフラックスF（n, x ,λ)は、
F （ n, x ,λ)＝∫ cosθ I (θ,x,λ) dΩ
=2π∫μI(μ, x,λ) dμ
＝ 4πH ( x, λ)
２次モーメント
Ｍ2（x,λ）=(1/4π)∫ (cosθ)2I(cosθ, x,λ) dΩ
= (1/2)∫μ2 I(μ, x,λ)dμ
=K （x,λ）
ｚ
運動量分布関数 f ( p ) を持つ粒子の圧力 P は、
運動量ｐのｚ成分ｐ cosθの、ｚ方向への輸送率、
Ｐ＝Pzz=∫(p cosθ・ cosθ) f (p) d3p
θ
ｐ
ｐcosθ
として与えられる。
c cosθ
光子では E＝ｃp =hνなので
Ｐ=∫E (p)μ2 f ( p ) d3p =∫c p μ2f (p) p2 dΩdp =∫cμ2 (h/c)4ν3 f (p) dΩdν
= (1/c)∫(h4ν3 /c2) f (p) μ2dΩdν ＝ (1/ c) ∬I (ν, Ω) μ2dΩdν
= (4π/c)∫K(ν) dν
簡単な例：
I(Ω) ＝Ｉo （等方輻射）
J = ∫IodΩ /4π=Io
H= ∫μIdΩ /4π=0
K= ∫μ2IdΩ /4π=Io/3
特に、I(ν)＝Ｂ(T, ν) の場合,
K(ν)＝(1/3)Ｂ(T, ν)
Pr = (4π/c)∫Ｋ(ν)dν
＝ (4π/3 c)∫B(T,ν) dν
＝ (4π/3 c)(σ/π)T4
＝ (4σ/3 c )T4＝(a/3)T4
５．２．平面近似でのモーメント方程式
問題にしている領域の厚み
が半径と同程度の時、
θ２
Ｄ
θ１
Ｒ
Ｄ/Ｒ≒１
光の方向は各層での鉛直線
に対して、異なる角度θを持
つ。
Ｄ/ Ｒ＜＜１の場合には角度
θが一定と考えてよい。
星の表面から出る光を研究
する場合、通常はτ＜１０程
度までで十分である。これは
星全体から見るとほんの表
面なのでＤ/ Ｒ＜＜１が成立
する。
このような場合は、本来、球
面である恒星大気の各層を
平面と考えて扱って構わな
い。
恒星の大気の各層を平面状に考えた際の、変数の意味を下に示す。
Iλ (μ,τλ=0)
τλ＝０
Ｙ
Ｚ
Ｘ
(表面)
τλ
θ
Iλ (μ,τλ)
星の大気表面から内部に向かって、Ｘ軸を設定する。Ｘ軸に沿って光学深さτを定
める。波長λにより吸収係κが変わるので、Ｘが同じでもτ（λ）＝∫κ（λ）ｄＸは異なる
ことに注意。
角度θの光線に沿って長さをｓとすると、ｄｓ＝ｄＸ/cosθ＝ｄＸ/μ なので、
光線に沿った光学深さをｔとする
と、ｄｔ＝ｄτ/μ
μdI(μ,λ,τλ)/dτλ＝I(τλ,λ)－S(τλ)
または簡単に、
μdI/dτ＝I－S となる。
何故、色々な角度の光線を扱うのか？
鉛直方向の光線だけでよいではないか。問題４－Ａ
θ１
θ２
θ３
５．２．平面近似でのモーメント方程式
μdI(μ,λ,τλ)/dτλ＝I(τλ,λ)－S(τλ)
または簡単に、
μdI/dτ＝I－S
( i ) 両辺をdΩ/4πで積分する。
∫[μdI/dτ]dΩ/4π＝∫IdΩ/4π－ ∫ＳdΩ/4π
= d[∫μIdΩ/4π]/dτ
dＨλ/dτλ= Jλ – Sλ
(ii) 両辺にμをかけてdΩ/4πで積分
d[∫μ2IdΩ/4π]/dτ
＝∫μIdΩ/4π－∫μSdΩ/4π
∫1-1μdμ=0 に注意すると、
dK λ/dτλ= Hλ
dH
 J   S
d
の意味
独立変数をｘに戻し（dτλ=‐κλρdｘ）、最初の式をλで積分する。
dH
  J   S      J  
dx
 dH 
4  
d   4    J  d
 dx

ηλ=4π[ελ －κλJλ]、 η＝∫ ηλdλ とおくと、
dF  x 
  x  x 
dx
総フラックスＦ＝一定、すなわち、 η＝０でもdHλ / dｘ＝０とは限らない。
Ｆ＝一定でも深さに伴ないＦλは変化するので注意がいる。
dK
 H
d
の意味
ｘに戻して、
(1/κλρ)[dKλ/dｘ]= - (1/4π)Fλ
Ⅰλ (ｘ、θ) ＝Ｂλ [T(ｘ)] とすると、（仮定１：ローカルに熱平衡）
Ｋλ ＝Jλ／３＝(1/3) Ｂλ (T)
したがって、
1 dB T 
1
  F
3 dx
4
（１）
次にλで積分する前に
Rosseland mean opacity κR を定義する必要がある。
1 dB T 
1
  F
3 dx
4
をλで積分すると、
1 dB T 
1
d    F d

3 dx
4
（２）
次のような、平均κを考える。
1 dB T 
1 dB T  dT
1 dB T 
d

d

d



1
 dx
 dT
dx
 dT



dB T 
dB T  dT
dB T 
R
d

d

d



dx
dT
dx
dT
κRは、κλの[dＢλ(T)/dT] という重り付き調和平均である。すると、
1 dB T 
1
dB T  dT
d 
d


3 dx
3 R
dT
dx
1
d  B T d dT


3 R
dT
dx
d  T 4  
3 dT
1 dB T 
1
dT
4

T


d 


3 dx
3 R
dT
dx 3R dx
結局、（２）式
1 dB T 
1
d    F d

3 dx
4
 1 dB T   dT
1
d 
 F

4
 3 dT
 dx
4T 3 dT
1
 F
3 R dx
4
acT3 dT
1
 F
3 R dx
4
4acT 3 dT
F 
3 R dx
は、
となる。
κR＝Rossland mean opacity
５．３．Rossland mean opacity κR
F   Fi
4 1 dBi x 
4 dT 1 dBi x 
1 dB 4 dT
 



 i dx
 dx i dT
 R dT  dx
κＲに効くのは、κiが小さい所とΔBiが大きい所でκiが大きい所は効かない。
Ｆ∝∑ΔBi /κi＝ΔB /κＲ
Bi
Fi ∝ΔBi(T) /κi
Bi＋ΔBi
星の内部構造方程式との対応
平面近似の輻射方程式
①
dH
 J   S
d
②
dK
 H
d
星の構造の方程式
dLR 
 R R 
2
4R dR
1
2
3
16acR T dT
L
3 dR
τ＝０
Ｒ＝Ｒ＊
Ｌ（Ｒ）
Ｔ（Ｒ）
Ｉ(λ、θ）
τλ
Ｊλ（τλ）、Ｈλ（τλ）、Ｋλ（τλ）
Ｒ＝０
①
エネルギー保存の式
dHλ / dτλ=Jλ – Sλ ：
(平面近似輻射モーメント方程式)
Ｆ=4π∫Hλdλ、η=4π∫[ελ －κλJλ]dλ とおくと、
dF(Ｒ)/dＲ=ρ(Ｒ)η(Ｒ)
今度は逆に、星の内部構造の式を変形する。
星のエネルギー保存式、
(1/4πＲ2)dL(Ｒ)/dＲ=ρ(Ｒ)η(Ｒ)
Ｌ＝４π(R+ΔR)2(F+ΔＦ）
R+ΔR
ＦとＬの関係は、
L(Ｒ)=4πＲ2F(Ｒ)
なので、 dF R 
2
 F R   R R 
dR
R
前ページと比べると、2 F R 
R
の差がある。この項が球曲率効果である。
Ｌ＝４πR2F
R
４π(R+ΔR)2(F+ΔＦ）＝４πR2F
R2ΔＦ+2RFΔR=0
ΔＦ=－２（Ｆ／Ｒ）ΔR
② エネルギー拡散の式
dK
 H
d
①と同じくＲに戻して、λで積分し、 κR＝Rossland mean opacity
を導入すると、
4acT 3 dT
F 
3 R dR
ところで、
L(Ｒ)=4πＲ2F(Ｒ)
したがって、
16acR2T 3 dT
L
3 dR
内部構造の式のκ＝κRとすれば、平面近似輻射モーメント方程式になる。
問題４－Ａ
（天文学部生はなるべく４－Ｂを選ぶよう）
半径Ｒの星の表面でのフラックス＝Ｆ´
星からＤ離れた点での星からの光のフラックス＝Ｆ
とする。半径Ｒの球面を通る輻射エネルギー＝半径Ｄの球面を通る輻射エネルギー
なので、４πＲ２Ｆ´＝４πＤ２Ｆ、したがって
Ｆ＝（Ｒ / Ｄ）２Ｆ´ である。
この関係をフラックスの定義に戻り、輻射強度 I の積分から導いて見よう。
黒体と異なり、星の表面からの光は等方的に出ているわけではない。通常、輻射強
度は鉛直方向に最も強く、水平方向に向かうにつれ弱くなる。その結果、外から星を
見ると、星円盤の中心は明るく、縁は暗く見える（ＬｉｍｂＤａｒｋｅｎｉｎｇ）。
星表面での輻射強度Ｉ
の角度分布
星円盤の輝度（輻射強度
Ｉ）分布
地球から星表面上の１点を見るときの輻射強度をＩ（Ω）と
し、星の表面上で、その光線（視線）方向への輻射強度を
Ｉ´（θ）とする。Ｉ（Ω）＝Ｉ´（θ）である。
ｄΩ
θ
Ｉ´（θ）
Ａ
Ｉ（Ω）
地球Ａから星を観測するときのフラックス、
Ｆ＝∫Ｉ（Ω）ｄΩ
(cosθ＝１と考えてよいから）
ただし、積分は星の表面の方向に限る。
星表面でのフラックス
Ｆ´＝∫Ｉ´（θ）ｄΩ´
上の２つの積分表式から、
Ｆ＝（Ｒ２ / Ｄ２）Ｆ´
となることを証明せよ。
積分は上半球面に渡る。
問題４－Ｂ
距離１Ｋｐｃ，光度Ｌ＝10,000Ｌｏ、Ｔｅｆｆ＝3,000 K の黒体スペクトルを持つ星が動径
方向の光学的厚み τ（λ）＝τo (λ/１μ)－１．５のダストシェルで覆われている。
（１）ダストシェルがないときのこの星のスペクトルを、縦軸を log Fν(Jy) 、横軸を
ｌog λ(μ) （０．５＜ｌog λ(μ)＜２）として描け。
σ＝５．６７×１０－８Ｗ／ｍ２／Ｋ４Ｌｏ＝３．８５ ×１０２６Ｗ１ｐｃ＝３．０８ ×１０１６ｍ
（２） τo=５、１、０．５の３つの場合につて、ダストシェルの吸収を受けた星のスペ
クトルを上と同じ縦軸、横軸で描け。
（３）ダストを一定温度Ｔｄ＝３００Ｋと仮定し、ダストシェルが吸収した星の光は、
全てダストシェルから赤外熱輻射として再放射されるとする。ダストシェルが出し
た光が再びシェルで吸収されることはないとした場合の、この星のスペクトル
（吸収を受けた星の光＋ダストシェルからの放射）を（１）、（２）と同じく縦軸を
log Fν(Jy) 、横軸をlog λ(μ)として描け。
吸収された星の光の総量＝ダストシェルが放射する光の総量となること
に注意すること。
（２）再吸収を考えないから、ダストシェルから放射される輻射強度は下図のように
Ｉ＝τＢとなり、観測されるフラックスＦ＝∫ＩｄΩ＝Ｂ（Ｔｄ、λ）∫τｄΩである。
ダストシ
ェルの減光を受けた星の光と、ダストシェルの熱放射を足した結果の
スペクト
ルを、Ｔｄτo=５、１、０．５について（１）と同じように描け。
τ１
τ２
τ
星
τ３
ダストシェル
τ１Ｂ（Ｔｄ、λ）
τ２Ｂ（Ｔｄ、λ）
τ３Ｂ（Ｔｄ、λ）

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