合格への鉄則集数学Ⅲ 前半

合格への鉄則集
数学Ⅲ
竹鉄Ⅲ-01～11
竹鉄Ⅲ-1 複素数(1) 基本原理と3つの解法
複素数の基本原理はド･モアブルの定理
(cosθ+ i sinθ)n = cos nθ + i sin nθ
(ｃｏｓθ1+isinθ1) (ｃｏｓθ2+isinθ2)=ｃｏｓ(θ1+θ2)+ isin(θ1+θ2)
複素数問題 3つの解法
① 共役複素数のフル活用で解く (特に|z| = z･ z )
② 図形的解釈で解く
③ 計算力で解く---最後の手段 z=a+bi
2
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鉄則集
–
2
竹鉄Ⅲ-2 複素数(2) ドモアブルとn乗根
□ ド･モアブルの定理 (+他基本公式)
(ｃｏｓθ1+isinθ1)×(ｃｏｓθ2+isinθ2)=ｃｏｓ(θ1+θ2)+
isin(θ1+θ2)
(ｃｏｓθ1+isinθ1)÷(ｃｏｓθ2+isinθ2)=ｃｏｓ(θ1-θ2)+ isin(θ1-θ2)
{ r (cosθ+ i sinθ)} n = rn {cos nθ + i sin nθ}
{ r (cosθ+ i sinθ)} -n = r-n {cos (-nθ) + i sin (-nθ) }
r (cosθ+ i sinθ) = r { cos(-θ) + i sin(-θ) }
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3
竹鉄Ⅲ-3 複素数(3) 共役複素数のフル活用
共役複素数のフル活用
(zの共役複素数を –z で表す)
絶対値
|z|2 = z･–z ，
|z| = |-z| =
|–z| ， |zn|= |z|n
実部,虚部実部=(z+ -z)/2 虚部=(z- -z)/2i
実数条件,純虚数条件
zが実数
⇔
z = -z
zが純虚数 ⇔
z = --z
和差積商の共役複素数 = 共役複素数の和差積商
n乗の共役複素数
= 共役複素数のn乗
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4
竹鉄Ⅲ-4 複素数(4) 複素数の図形的解釈
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5
竹鉄Ⅲ-5
2次曲線(1) 解法
① 計算で解く (x,y座標)
各2次曲線の方程式，接線の方程式
移動(平行移動,対称移動,回転移動)と方程式
② 計算で解く (媒介変数表示)
楕円：x=a cosθ，y=b sinθ
双曲線：x=a/cosθ，y=b tanθ
③ 図形的解釈で解く (個々の曲線ごとの特徴で)
円，
楕円，
双曲線，放物線
中心焦点からの
半径距離の和
焦点からの焦点と準線
距離の差からの距離
の特徴に注目して解く
中心，焦点，漸近線，準線，x軸y軸との交点等を明確にして解く
移動(平行移動,対称移動,回転移動)を使って解く
④ 図形的解釈で解く (2次曲線を統一的に扱う)
離心率 e：焦点と準線からの距離の比
極方程式： r(1+ e cosθ) = ej (焦点：極，準線：x=j)
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6
竹鉄Ⅲ-6
2次曲線(2) 離心率eと極方程式
2次曲線を統一的に図形的解釈で解く
離心率 e：焦点と準線からの距離の比 e=焦点/a
楕円
放物線
双曲線
e<1
e=1
e>1
極方程式： r(1+ e cosθ) = ej (焦点：極，準線：
x=j)
r ： (j-rcosθ) = e ： 1 ，r=ej/(1+e cosθ)
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竹鉄Ⅲ-7 関数(1) 無理関数分数関数
無理関数･分数関数の方程式･不等式の解き方
① グラフで解く
② 計算で解く分数関数：移項して通分&因数分解
無理関数：2乗する
逆関数･合成関数問題の解き方
g(x)=f-1(x)とする
① f(g(x))=g(f(x))=x (それぞれの定義域において) の関係式を利用する
② f-1(x)=f(x) となる条件： y=x 対称，分数関数は漸近線が一致
(漸近線の交点がy=x 上にくる)
-1
③ y=f (x)とy=f(x)の交点：単調増加関数なら
y=f(x)とy=xの交点に一致する
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8
竹鉄Ⅲ-8 極限(1) 数列の極限関数の極限
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続く
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