解 数学検定 第２５５回２級２次：数理技能検定 問題１ ⑴ 条件より v 1t v1 ＯＡ cosθ＝ ＝ ＝ v2 v 2t ＯＢ ０°＜θ＜９０°より，sinθ＞０であるから v1 sinθ＝ １− v 2 ＝ 2 h v 2 2 −v 1 2 ３６４ ３６５ v 2 −v 1 2 よって，求める確率は 19 １− 365Ｐ20 ３６５20 （答）１− 2 Ｐ20 ３６５20 365 2 条件より ４｛（ x −１）＋ y 2 ｝−｛（ x ＋５）＋ y 2 ｝＝０ ＰＡ：ＰＢ＝２：１ これを整理して ２ＰＢ＝ＰＡ x 2 −６x ＋ y 2 −７＝０ 2 2 （ x −３）＋ y 2 ＝１６ 2 ４ＰＢ −ＰＡ ＝０ 2 2 よって，点Ｐの軌跡は，中心（３，０），半径４ Ｐの座標を（x ，y ）とおくと の円である。 ＢＨ：ＨＣ＝ t：（１−t ）とすると ｜b｜＝７，｜c｜＝８，b・c ＝１６であるから ＡＨ＝（１−t ）b ＋ t c ４９（ t −１）＋６４t ＋１６（１−２t ）＝０ ここで，ＡＨ⊥ＢＣより これを解いて １１ t ＝ ２７ よって １６ １１ ＡＨ＝ b ＋ c ２７ ２７ ４ＰＢ ＝ＰＡ 問題４ 2 v 2 2 −v 1 2 v2 ⑵ ２０人全員の誕生日が異なる確率は 365Ｐ20 ３６５20 問題３ h （答） t ＝ （答） sinθ＝ ⑴ （答） ２−２−１ h ＡＢ より ⑵ sinθ＝ ＝ v 2t ＯＢ h t ＝ v sinθ 2 v 2 2 −v 1 2 v2 ＝ 問題２ 答 ＡＨ・ＢＣ＝０ ｛（１−t ）b ＋ t c ｝ ・ （ c − b ）＝０ 2 2 （ t −１） ｜b｜ ＋ t｜c｜ ＋（１−２t ）b・c ＝０ １６ １１ （答） ＡＨ＝ b ＋ c ２７ ２７ 問題５ ⑴ 人数配置 工 程 ⑵ 人数配置 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 人数（人） ２ ６ ３ ２ 最大値 ３６０個 工 程 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ 人数（人） ２ ５ ３ ２ ３ 最大値 ３００個 Ｈ２６２３Ｇ０８ ２−２−２ 問題６ ⑴ f（x ）＝x 2 −２x ＋３ とおくと y y＝x ²−2x ＋3 となる x の値を求めると 2 f （x ） ＝（ x −１）＋２ f x） これより，y ＝ （ のグラフは右の図の通 り。軸 は x ＝１ で あ る の で，最 小 値 は 以 下 の ようになる。 ⑵ x ＝０のとき，y ＝３である。ほかに y ＝３ x 2−２x ＋３＝３ x 2−２x ＝０ 3 x（x −２）＝０ 2 O x ≠０より，x ＝２ 1 2 x したがって，最大値は以下のようになる。 ０＜a ＜２のとき x ＝０で，最大値３ ０＜a＜１のとき （答） 問題７ x＝a で，最小値 a 2 −２a＋３ （答） a ＝２のとき x ＝０，２で，最大値３ １≦a のとき ２＜a のとき x ＝１で，最小値２ x ＝a で，最大値 a2 −２a ＋３ ⑴ （答） a ＝１，b ＝３，c ＝−４ 1 f ）dx S ＝− （x −4 1 ⑵ x 2 ＋３x −４＝０を解くと， （ x ＋４） （ x −１）＝０より x ＝−４，１ f ）≦０であるから， −４≦ x ≦１において， （x ＝− −4（x 2 ＋３x −４）dx ＝− x3 ３x 2 ＋ −４x ３ ２ 1 −4 １２５ ＝ ６ 求める面積 S は （答）S ＝ Ｈ２６２３Ｇ０８ １２５ ６
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