2015/3/28 高 3 難関大への数学 IAIIB 1 2 辺の長さが 1 と 2 の長方形と 1 辺の長さが 2 の正方形の 2 種類のタイルがある。縦 2，横 n の長方形の部屋をこれらのタイルで過不足なく敷き詰めることを考え，そのような並べ方の総数を An で表す。たとえば， A1 = 1, A2 = 3, A3 = 5 である。n > = 3 のとき An を n を用いて表せ。ただし，n は正の整数である。 2 数字 1, 2, 3 を n 個並べてできる n 桁の数全体を考える。そのうち 1 が奇数回現れるものの個数を an ，1 が偶数回現れるか全く現れないものの個数を bn とする。an , bn を求めよ。 3 5 アーチェリー部・A 君の矢を命中させる確率は，前回命中していれば，前回命中していな 6 4 ければであるという。A 君があるとき矢を命中させた。これを 1 回目とする。n 回目に矢が 5 命中する確率 pn (n > = 2) を求めよ。 4 箱 A，箱 B のそれぞれに赤玉 1 個，白玉 3 個，合計 4 個ずつ入っている。1 回の試行で箱 A の玉 1 個と箱 B の玉 1 個を無作為に選び交換する。この試行を n 回繰り返した後，箱 A に赤玉 1 個，白玉 3 個入っている確率を pn とする。pn を求めよ。 5 サイコロを投げるゲームをする。1 の目が出たら得点を 1 点，2 または 3 の目が出たら 2 点，その他の目が出たら 0 点とする。1 点または 2 点をとったときには続けてサイコロを投げ，0 点をとった時点でゲームを終了する。合計得点が n 点でゲームが終了する確率を un とする。un を n で表せ。 1 場合の数・確率と漸化式 6 サイコロの出た目の数だけ数直線を正の方向に移動するゲームを考える。ただし，8 をゴールとしてちょうど 8 の位置へ移動した時ゲームを終了し，8 を超えた分についてはその分だけ戻る。たとえば，7 の位置で 3 が出た場合，8 から 2 戻って 6 へ移動する。なお，サイコロは 1 から 6 までの目が等確率で出るものとする。原点から始めて，サイコロを n 回投げ終えたときに 8 へ移動してゲームが終了する確率を pn とおく。 (1) p2 を求めよ。 (2) p3 を求めよ。 (3) 4 以上のすべての n に対して pn を求めよ。 7 片面を白色に，もう片面を黒色に塗った正方形の板が 3 枚ある。この 3 枚の板を机の上に横に並べ，次の操作を繰り返し行う。さいころを振り，出た目が 1，2 であれば左端の板を裏返し，3，4 であればまん中の板を裏返し，5，6 であれば右端の板を裏返す。たとえば，最初，板の表の色の並び方が「白白白」であったとし，1 回目の操作で出たさいころの目が 1 であれば，色の並び方は「黒白白」となる。さらに 2 回目の操作を行って出たさいころの目が 5 であれば，色の並び方は「黒白黒」となる。 (1) 「白白白」から始めて，3 回の操作の結果，色の並び方が「黒白白」となる確率を求めよ。 (2) 「白白白」から始めて，n 回の操作の結果，色の並び方が「黒白白」または「白黒白」または「白白黒」となる確率を pn とする。p2k+1 (k は自然数) を求めよ。注意：さいころは１から 6 までの目が等確率で出るものとする。 2