Math. Carsten Zwilling SS 16 Analysis II Blatt 7

SS 16
TU Dortmund
Prof. Dr. Matthias Röger
Dipl.-Math. Carsten Zwilling
Analysis II
Blatt 7
Abgabe: 06.06.2016
Aufgabe 1 (4 Punkte). Seien V ⊂ Rm offen, γ : [a, b] → V eine stückweise stetig differenzierbare Kurve, φ : [α, β] → [a, b] eine stetig differenzierbare Funktion mit φ0 (τ ) 6= 0 für alle
τ ∈ [α, β], und sei γ̃ := γ ◦ φ die durch φ umparametrisierte Kurve.
Zeigen Sie: Für alle h ∈ C 0 (V ) gilt
Z
Z
h ds = h ds.
γ̃
γ
Aufgabe 2 (4 Punkte). Sei f : [0, π] → R gegeben durch f (x) = cos(x). Betrachten Sie den
Graphen von f , d.h. die Menge
G := (x, f (x)) : x ∈ [0, π] ⊂ R2 .
i) Bestimmen Sie die Menge aller Tangentialvektoren an G.
ii) Zeigen Sie, dass die Länge von G, aufgefasst als Kurve im R2 , gegeben ist durch
r
√ Z π2
1
1 − sin2 (t) dt.
L(G) = 2 2
2
0
iii) Sei v : R2 → R2 das durch
v(x, y) :=
−x
e − ex − ye−x
,
e−x
(x, y) ∈ R2
definierte Vektorfeld. Berechnen Sie
Z
~
v dx
γ
für eine reguläre Parametrisierung γ von G. Ist dieser Wert unabhängig von der Wahl der
Parametrisierung?
Aufgabe 3 (4 Punkte).
(a) Betrachten Sie die offene Menge
E := (x, y) ∈ R2 : 0 < y < x2 ⊂ R2 .
i) Skizzieren Sie E.
ii) Zeigen Sie, dass für die Funktion f : R2 → R mit
1, (x, y) ∈ R2 \ E
f (x, y) :=
0, (x, y) ∈ E
alle Richtungsableitungen in (0, 0) existieren.
iii) Ist f stetig in (0, 0)? Ist f differenzierbar in (0, 0)? Begründen Sie Ihre Aussagen.
(b) Sei g : R2 → R gegeben durch
(
xy 2
(x, y) 6= (0, 0)
2 +y 2 ,
x
g(x, y) :=
0,
(x, y) = (0, 0)
i) Zeigen Sie, dass g stetig ist.
ii) Entscheiden Sie, ob alle Richtungsableitungen von g in (0, 0) existieren und ob g in
(0, 0) differenzierbar ist. Begründen Sie Ihre Aussagen.
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