Klausur - Fachrichtung Mathematik

UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK
Prof. Dr. Moritz Weber
Klausur zur Vorlesung Analysis I
Sommersemester 2015
Mittwoch, 5.8.2015, 9:00 – 12:00 Uhr
————————————————————————————————
Willkommen zur Klausur der Vorlesung Analysis I
• Die Klausur dauert 3:00 Stunden, sie beginnt um 9:00 Uhr und endet um 12:00 Uhr.
• Bitte tragen Sie Ihre persönlichen Daten auf diesem Blatt ein und unterschreiben
Sie dieses.
• Für diese Klausur sind keine Hilfsmittel zugelassen.
• Bitte legen Sie Ihren Studierendenausweis zur Kontrolle auf den Tisch.
• Schreiben Sie bitte Ihre Lösungen auf die ausgegeben Aufgabenblätter. Sollte Ihnen
der Platz nicht reichen, benutzen Sie bitte die Rückseiten der Blätter und machen
Sie kenntlich, um welche Aufgaben es sich jeweils handelt.
• Beschriften Sie bitte auch alle Schmierblätter mit Ihrem Namen und geben Sie diese
mit ab.
• Bitte schreiben Sie weder in rot noch mit Bleistift.
Viel Erfolg!
Nachname:
Vorname:
Geburtsdatum:
Matrikelnummer:
Semesterzahl:
Fachrichtung:
Unterschrift:
1
2
3
4
5
6
7
8
Zus.∗
BP
Summe
Note
Aufgabe 1 (2+2+2+2+2=10 Punkte). Im Folgenden werden einige Grundbegriffe der
Vorlesung abgefragt.
(a) Definieren Sie, was ein Supremum einer Menge M ⊂ R ist. Geben Sie ein Beispiel
einer Menge M ⊂ R an, dessen Supremum 1 ist.
(b) Definieren Sie in Quantorenschreibweise, wann eine Folge (an )n∈N reeller Zahlen
gegen a ∈ R konvergiert. Negieren Sie auch die Aussage.
(c) Definieren Sie, wann eine Funktion monoton fallend heißt. Geben Sie auch ein Beispiel einer solchen Funktion an.
(d) Definieren Sie, wann eine Funktion f : D → R differenzierbar in x ∈ D ist. Geben
Sie auch ein Beispiel einer Funktion an, die differenzierbar auf ganz R ist.
(e) Geben Sie ein Beispiel einer Funktion f : N → N an, die injektiv aber nicht surjektiv
ist. Geben Sie außerdem noch ein Beispiel einer Funktion f : N → N an, die surjektiv
aber nicht injektiv ist.
Aufgabe 2 (2+2+2+2+2=10 Punkte). Im Folgenden werden einige Sätze der Vorlesung
abgefragt. Geben Sie dabei alle Voraussetzungen an.
(a) Was besagt die Kettenregel für differenzierbare Funktionen?
(b) Was ist eine geometrische Reihe und was ist ihr Grenzwert?
(c) Was besagt das Vollständigkeitsaxiom?
(d) Formulieren Sie das Konvergenzkriterium für alternierende Reihen.
(e) In welchem Zusammenhang stehen Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit? Wann
impliziert das eine das andere und umgekehrt?
Aufgabe 3 (2+2+2+2+2=10 Punkte). Geben Sie bei den folgenden Aussagen jeweils
an, ob sie
für alle Folgen (an )n∈N
wahr oder ob sie falsch ist. (Ohne Begründung!) Für eine richtige Antwort bekommen Sie
2 Punkte, für eine falsche 2 Minuspunkte. Falls Sie bei dieser Aufgabe mehr Minuspunkte
als Pluspunkte sammeln, wird die Aufgabe mit Null Punkten gewertet.
(a) Gibt es eine Zahl q < 1 mit
p
n
|an | ≤ q für alle n ∈ N, so ist (an )n∈N eine Nullfolge.
(b) Ist (an )n∈N konvergent, so ist auch (akn )n∈N konvergent für jedes k ∈ N.
(c) Gibt es eine Zahl K > 0, so dass |an | < K ist für alle n ∈ N, so ist
sup{an | n ∈ N} < K.
(d) Ist (an )n∈N bestimmt
konvergent gegen unendlich und ist an > 0 für alle n ∈ N, so
P∞ 1 −n
konvergiert n=1 an e .
(e) Ist (a2n )n∈N konstant, so ist (an )n∈N konvergent.
Aufgabe 4 (2+2+2+2+2=10 Punkte). Geben Sie bei den folgenden Aussagen jeweils
an, ob sie
für alle Funktionen f : [−1, 1] → R
wahr oder ob sie falsch ist. (Ohne Begründung!) Für eine richtige Antwort bekommen Sie
2 Punkte, für eine falsche 2 Minuspunkte. Falls Sie bei dieser Aufgabe mehr Minuspunkte
als Pluspunkte sammeln, wird die Aufgabe mit Null Punkten gewertet.
(a) Ist f stetig, so gibt es ein x ∈ [−1, 1] mit f (x) ≥ f (y) für alle y ∈ [−1, 1].
(b) Ist f differenzierbar, so gibt es ein x ∈ [−1, 1] mit f (x) ≥ f (y) für alle y ∈ [−1, 1]
und f 0 (x) = 0.
(c) Ist f differenzierbar und f 0 (x) > 0 für alle x ∈ [−1, 1], so ist f injektiv.
(d) Die Menge {f ( n1 ) | n ∈ N} ist abzählbar.
(e) Ist f stetig und z ∈ R mit |f (−1)| ≤ |z| ≤ |f (1)|, so gibt es ein x0 ∈ [−1, 1] mit
f (x0 ) = z.
Aufgabe 5 (3+3+4=10 Punkte). Begründen Sie bei den folgenden Berechnungen alle
Schritte.
(a) Was ist der Grenzwert der Folge:
an = Im
(3n + 2i)(7 − ni)
n2
(b) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion
x
e − e−x
f (x) = sin π
2
an der Stelle x = 0.
(c) Was ist der Grenzwert der Folge:
bn =
√
9n2 + 2n + 1 − 3n
Aufgabe 6 (3+3+4=10 Punkte). Begründen Sie bei den folgenden Berechnungen alle
Schritte.
(a) Zeigen Sie, dass die folgende Reihe konvergiert:
∞ X
1
n=1
1
−
n n+2
(b) Berechnen Sie den Wert der obigen Reihe.
(c) Berechnen Sie den Wert des Integrals:
Z
π
2
t cos t dt
0
Aufgabe 7 (3+3+4=10 Punkte). Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen, die gegen a ∈ R
konvergiert.
(a) Impliziert an ≥ 0 für alle n ∈ N, dass auch a ≥ 0 ist? (Beweis oder Gegenbeispiel)
(b) Impliziert an > 0 für alle n ∈ N, dass auch a > 0 ist? (Beweis oder Gegenbeispiel)
(c) Es konvergiere (an )n∈N nicht nur gegen a ∈ R sondern auch gegen b ∈ R. Zeigen Sie,
dass dann a = b gilt. Begründen Sie all Ihre Schritte.
Aufgabe 8 (5+5=10 Punkte). Sei f : (a, b) → R eine Funktion und x ∈ (a, b).
(a) Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) Für alle ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dass für alle y ∈ (a, b) mit |x − y| < δ gilt:
|f (x) − f (y)| < ε.
(ii) Für jede Folge (xn )n∈N mit xn ∈ (a, b) und xn → x für n → ∞ gilt:
f (xn ) → f (x) falls n → ∞.
Begründen Sie all Ihre Schritte.
(b) Sei f : (a, b) → R differenzierbar mit einer differenzierbaren Umkehrfunktion. Zeigen
Sie, dass f dann keine lokalen Extrema hat. Begründen Sie all Ihre Schritte.
Zusatzaufgabe∗ (10∗ Punkte). Sei I ⊂ P(N)\{∅} die Menge der nicht-leeren endlichen
Teilmengen von N. Wir definieren
aE := 4− max E
für E ∈ I. Zeigen Sie, dass die Familie (aE )E∈I summierbar ist und berechnen Sie deren
Wert.

Download Report