Allgemeine Exponentialfunktion

12
2.
Zeitkontinuierliche Signale
2.1
Allgemeine Exponentialfunktion
Bekannt ist die reelle Exponentialfunktion:
Bild 2.1:
Reelle Exponentialfunktion
Allgemeine Exponentialfunktion:
x (t ) = Ae s t
A = A'+ j A"
s = δ + jω
komplexe Amplitude
komplexe Frequenz
(2.1)
Daraus gehen die Spezialfälle hervor:
1) reelle Amplitude A = A' und ω= 0 ergibt die reelle Exponentialfunktion
x (t ) = A' e δ t
(2.2)
2) reelle Amplitude A = A' und ω ≠ 0:
x (t ) = A' e (δ + j ω ) t =
A' e δ t e j ω t
(2.3)
" komplexe Exponentialfunktion"
Mit der Euler-Beziehung
e j ω t = cos ω t + j sin ω t
(2.4)
erhält man für die „komplexe Exponentialfunktion“:
x (t ) = A' e δ t ⋅ [cos ω t + j sin ω t ]
= A' e δ t cos ω t + jA' e δ t sin ω t
= x '(t ) + jx " (t ),
x '(t ) = Re{x (t )} = A' e δt cos ωt
x " (t ) = Im{x (t )} = A' e δ t sin ω t .
(2.5)
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Man erkennt:
Die reelle Exponentialfunktion A' e δt tritt als „Einhüllende“
•
•
einer cos-Funktion (im Realteil x '(t ))
einer sin-Funktion (im Imaginärteil x“(t))
auf! Es bedeuten
•
•
δ < 0 eine „Abklingkonstante“
δ > 0 ein „Wuchsmaß“, siehe Bild 2.2!
Bild 2.2:
Die reelle Exponentialfunktion mit δ < 0 (a) und δ > 0 (b) tritt
als Einhüllende der „komplexen Exponentialfunktion“ mit der
(Kreis-)Frequenz ω auf ((c) und (d))

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