Modellierung ¨Ubungsblatt 6

Modellierung
¨
Ubungsblatt
6
Laurent Pfeiffer, Universit¨at Graz
30. April 2015
Aufgabe 1 (Lyapunov Funktionen und Stabilit¨at). Sei f : Rn → Rn eine Lipschitz-stetige
Funktion, wir betrachten die folgende gew¨ohnliche Differentialgleichung mit Anfangswert x ∈ Rn :
y(t)
˙ = f (y(t)), ∀t ≥ 0,
y(0) = x.
Wir bezeichnen die L¨
osung mit yx (t), um ihre Abh¨angigkeit vom Anfangswert zu betonen. Wir
brauchen die folgenden Definitionen:
1. Ein Punkt x∗ ∈ Rn heißt Gleichgewicht, wenn f (x∗ ) = 0 und heißt lokal stabiles Gleichgewicht, wenn f¨
ur alle ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass gilt:
∀x ∈ Rn , kx − x∗ k ≤ δ =⇒ ∀t ≥ 0, kyx (t) − x∗ k ≤ ε.
2. Eine stetig differenzierbare Funktion V : Rn → R heißt Lyapunov Funktion, wenn:
(a) es ein x
¯ gibt, so dass f¨
ur alle x ∈ Rn \{¯
x}, V (x) > V (¯
x)
(b) f¨
ur alle x ∈ Rn , DV (x)f (x) ≤ 0.
Wir nehmen an, dass eine Lyapounov Funktion existiert und dass f¨
ur alle Folgen (xn )n in Rn ,
kxn k → +∞ =⇒ V (xn ) → +∞. O.B.d.A. nehmen wir auch an, dass V (¯
x) = 0.
1. Beweisen Sie
ur alle ε > 0 eine Zahl u > 0 existiert, so dass
durch Widerspruch, dass f¨
V −1 [0, u) ⊂ B(¯
x, ε).
2. Beweisen Sie, dass f¨
ur alle x ∈ Rn die Funktion t 7→ V (yx (t)) fallend ist.
3. Beweisen Sie, dass x
¯ ein lokal stabiles Gleichgewicht ist.
Aufgabe 2 (Lotka-Volterra Modell). Seien a1 , a2 , a3 , a4 vier strikt positive Zahlen, wir betrachten das Lotka-Volterra Modell (oder R¨auber-Beute Modell):
(
x(t)
˙
= (a1 − b1 y(t))x(t), y(t)
˙ = (−a2 + b2 x(t))y(t),
(1)
x(0) = x0 ≥ 0,
y(0) = y0 ≥ 0,
wobei der Anfangswert (x0 , y0 ) bekannt ist.
1. Welche Variable ist die Beute ? Welche ist der R¨auber ?
2. Berechnen Sie die L¨
osung der Differentialgleichung (1) im Fall x0 = 0, y0 > 0 und im Fall
y0 = 0, x0 > 0.
3. Berechnen Sie die Gleichgewichte.
1
4. Beweisen Sie, dass die Funktion
(x, y) ∈ (0, +∞) × (0, +∞) 7→ V (x, y) = −a2 ln(x) + b2 x − a1 ln(y) + b1 y
konvex ist. Berechnen Sie den einzigen Punkt (¯
x, y¯), der V minimiert.
5. Ab jetzt nehmen wir an, dass x0 > 0 und y0 > 0. Beweisen Sie, dass f¨
ur alle t ≥ 0,
V (x(t), y(t)) = V (x(0), y(0)).
6. Beweisen Sie, dass f¨
ur alle u ≥ V (¯
x, y¯) die Menge V −1 ((−∞, u]) kompakt und konvex
ist. Da V konstant u
osung der Gleichung ist, folgt daraus, dass diese L¨osung
¨ber die L¨
periodisch ist.
7. Sei T > 0 die Periode der L¨
osung. Berechnen Sie die Mittelwerte x∗ bzw. y ∗ von x(t) bzw.
y(t), definiert durch:
x∗ =
1
T
Z
T
x(t) dt,
y∗ =
0
1
T
Z
T
y(t) dt.
0
Zu diesem Zweck zeigen Sie zuerst, dass
ln(x(T )) − ln(x(0)) =
Z
T
a1 − b1 y(t) dt.
0
8. Stellen Sie mit Hilfe von Matlab oder Octave und der Funktion contour graphisch die
Niveaumengen der Funktion V dar.
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