Sommersemester 2015
GU Frankfurt
Prof. Dr. Esther Cabezas-Rivas
¨
Analysis 2 β Ubungsblatt
6
(Abgabe: 26.05.2015)
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1. Sei (π, π) ein metrischer Raum.
(a) Sei π΄ β π eine zusammenh¨
angende Teilmenge. Zeigen Sie: Falls π΅ β π eine Teilmenge
mit π΄ β π΅ β π΄¯ ist, ist π΅ zusammenh¨angend.
(b) Sei π := {(0, 0)} βͺ {(π₯, sin π₯1 ) : π₯ > 0} β β2 . Beweisen Sie, dass π zusammenh¨angend
aber nicht wegzusammenh¨
angend ist.
[6 P]
Λ metrische R¨
Λ, π)
Λ stetig und π β π .
2. Seien (π, π), (π
aume, π : π β π
(a) Richtig oder falsch? (Nat¨
urlich antworten Sie entweder mit einem Beweis oder einem
Gegenbeispiel.)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
π (π ) β π (π ).
π (π ) β π (π ).
(π₯π ) Cauchy-Folge β π (π₯π ) Cauchy-Folge.
Sei π· dicht in π . Dann ist π (π·) dicht in π (π ).
Λ eine andere stetige Abbildung und π· dicht in π . Falls π (π₯) = π(π₯) f¨
(b) Sei π : π β π
ur
alle π₯ β π·, beweisen Sie dass π β‘ π (d.h. π (π₯) = π(π₯) f¨
ur alle π₯ β π ).
(c) Seien π1 := {π₯ β β2 : β₯π₯β₯2 = 1} und π : π1 β β stetig. Zeigen Sie: es gibt ein π₯ β π1 ,
sodass π (π₯) = π (βπ₯).
[8 P]
3. Man u
¨berpr¨
ufe auf Abgeschlossenheit, Oο¬enheit und Kompaktheit:
(a) π := {2π : π β β} β β.
(b) πΏ := {π§ β β : β£π§β£2 β₯ 1, β£π§β£3 β€ 30} β β.
[4 P]
4. Sei πΌ := [0, 2] und betrachte (πΆ(πΌ), β₯ β
β₯β ). Wir deο¬nieren die Abbildung
β« π₯
π : (πΆ(πΌ), β₯ β
β₯β ) β (πΆ(πΌ), β₯ β
β₯β );
π 7β π(π )(π₯) :=
π (π‘) ππ‘.
1
Beweisen Sie, dass π linear und stetig bzgl. β₯β
β₯β ist, und bestimmen Sie β₯πβ₯ (Operatornorm).
[2 P]
1
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