Vorlesungsprogramm Kurs: Mathematik III-Partielle Differentialgleichungen, Herbstsemester 2014, D-CHEM Dozent: Prof.Francesca Da Lio Koordinator: Luca Galimberti 1. Beispiele von partiellen Differentialgleichungen. Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen. Das Superpositionsprinzip. 2. Die Herleitung der eindimensionalen Wellengleichung. Die Methode von d’Alembert. Die Methode von Duhamel . 3. Fourierreihen in reeller und komplexer Form, Koeffizientenformel. Darstellung von stu ¨ckweise stetigen Funktionen durch Fourierreihen. Beispiele. Anwendung der Fourierreihen: Berechnung von Summen numerischer Reihen. 4. Die Methode der Separation der Variablen und Anwendungen. L¨osung der Wellengleichung und der Wa¨rmeleitungsgleichung mit homogenen und mit inhomogenen Randbedingungen (Dirichlet und Neumann Randedingungen). 5. Lo¨sung der Laplace-Gleichung auf einem Rechteck, auf einer Kreisscheibe, auf einem Kreisring. Die Poisson-Integralformel. Eigenschaften des Poisson-Kerns. Der Mittelwertsatz. Das Maximumprinzip . 6. Informelle Herleitung der Definition der Fourier-Transformation. Absolutintegrable Functionen. Die Inverse Fouriertransformation. Der Fouriersche Integralsatz. Interpretation von der Fourier-Transformation. Beispiele. Rechenregeln. Eigenschaften. L¨osung der W¨armeleitungsgleichung 1 auf R. Eigenschaften des W¨armeleitungskerns. L¨osung der Wellengleichung auf R . 7. Motivationen, Definition der Laplace-Transformation, Rechenregeln, inverse Laplace-Transformation, inverse Laplace-Transformation von rationalen Funktionen. Anwendung: Lineare gew¨ohnliche Differentialgleichungen . Pru¨fungsschwerpunkte • Die d’Alembertsche Formel, das Duhamelsche Prinzip fu ¨r die Wellengleichung. • Die Methode der Separation der Variablen. • Lo¨sung des Anfangs-Randwertproblem fu ¨r die W¨armeleitungsgleichung und die Wellengleichung auf endlichen Intervallen mit homogenen und mit inhomogenen Randbedingungen (Dirichlet und Neumann Randedingungen). • Lo¨sung der Laplace-Gleichung auf einem Rechteck, auf einer Kreisscheibe, auf einem Kreisring. Die Poisson-Integralformel. Der PoissonKern. • Anwendungen des Mittelwertsatzes und des Maximumprinzips. • Reelle und komplexe Fourierreihen: Berechnung der Fourierkoeffizienten, Berechnung spezieller numerischer Reihen. • Fouriertransformation: Berechnung der Fouriertransformation einigen Funktionen. Die Inverse Fourier-Transformation. Lo¨sung der W¨armeleitungsgleichung auf R und der Wellengleichung auf R mithilfe der Fouriertransformation. Eigenschaften des W¨armeleitungskerns. 2 • Laplacetransformation: L¨osung von Anfangswertproblemen linearer gew¨ohnlicher Differentialgleichungen, inverse Laplacetransformation rationaler Funktionen. Literatur [B] Ch. Blatter, Skript : Komplexe Analysis, Fourier- und LaplaceTransformation und Analysis http://www.math.ethz.ch/ blatter/ . [D] F . Da Lio, Skript : Mathematik III-Partielle Differentialgleichungen ; http://www.math.ethz.ch/u/fdalio/ . [F] G. Felder, Skript : Analysis III http://www.math.ethz.ch/u/felder/ . [H] N. Hungerbu ¨hler, Einf¨uhrung in partielle Differentialgleichungen (f¨ur Ingenieure, Chemiker und Naturwissenschaftler), vdf Hochschulverlag, 1997. [K] E. Kreyszig, Advanced Engineering Analysis, Wiley 1999 . [P] L. Papula, Mathematik f¨ur Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 2, Ein Lehr- und Arbeitsbuch fr das Grundstudium . 3