Institut f¨ ur theoretische Physik Universit¨ at zu K¨ oln PD Dr. Rochus Klesse Dr. Sebastian Schmittner ¨ Quantenphysik – Ubungsblatt 7 Abgabe bis 3.6.2015 Website: http://www.thp.uni-koeln.de/~ses/qm2015 Aufgabe 7.1. Dynamik der Erwartungswerte Ein Teilchen der Masse m in einer Dimension unterliege der Kraft F (x) = −∂x V (x). Seine quantenmechanische Dynamik ist dann u ¨ ber die Schr¨odingergleichung durch den Hamiltonoperator H = pˆ2 /2m+V (ˆ x) gegeben. ψ(t) sei die L¨osung der Schr¨odingergleichung zu einem Anfangszustand ψ0 bei t = 0. Im folgenden bezeichne hAit den Erwartungswert der Observablen A im Zustand ψ(t), also hAit = hAiψ(t) . a. Zeigen Sie: d hˆ pit = hF (ˆ x)it , dt d hˆ pit hˆ xit = , dt m m d2 hˆ xit = hF (ˆ x)it . dt2 b. Nun sei xkl (t) die klassische Bahn als L¨osung der Newton-Gleichtung m¨ xkl (t) = F (xkl (t)) zum Anfangsort hˆ xi0 und zur Anfangsgeschwindigkeit hˆ pi0 /m bei t = 0. Unter welchen Bedingungen an ψ(t) und F ist xkl (t) eine gute N¨aherung f¨ ur den Erwartungswert hˆ xit ? Hinweis: Entwickeln Sie F (x) um hˆ xit bis in zweite Ordnung. 2 2 c. Schließlich betrachten wir mit V (x) = mω 2 x speziell den eindimensionalen harmonischen Oszillator der Frequenz ω. ψ(t) sei wieder die L¨osung der Schr¨odingergleichung zum Anfangszustand ψ0 bei t = 0. Zeigen Sie, dass hˆ xit = hˆ xi0 cos ωt + hˆ pi0 sin ωt . mω Aufgabe 7.2. Quantisierung des Drehimpulses ˆ 3 = i~∂α Rα |0 (= x L ˆ1 pˆ2 − x ˆ2 pˆ1 ) ist die e3 -Komponente des quantenmechanischen Bahndrehimpulses eines Teilchens (vgl. Aufgabe 6.4.). a. Zeigen Sie, dass in Ortsdarstellung mittels Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) die Wirkung ˆ 3 durch von L ˆ 3 ψ)(r, ϕ, z) = −i~∂ϕ ψ(r, ϕ, z) (L gegeben ist. b. Untersuchen Sie das Eigenwertproblem ˆ 3 ψ)(r, ϕ, z) = l3 ψ(r, ϕ, z) (L mittels des Ansatzes ψ(r, ϕ, z) = f (ϕ)g(r, z). Folgern Sie insbesondere, dass als Eigenwerte ˆ 3 nur ganzzahlige Vielfache von ~ m¨oglich sind (und damit die e3 -Komponente des von L Bahndrehimpulses in ganzzahligen Vielfachen von ~ quantisiert ist). 1 Aufgabe 7.3. Teilchen im Gummikasten Wir betrachten in dieser Aufgabe wieder die Bewegung eines Teilchens in einer Dimension im Kasten [0, π]. Anders als in der Vorlesung seien die W¨ande nun aber “weich” und etwa durch das unter b. aufgef¨ uhrte Potenzial beschrieben. a. Zur Vorbereitung betrachten wir die freie, zeitunabh¨angige Sch¨odingergleichung auf ]0, π[ unter der Randbedingung verschwindender Ableitungen der Wellenfunktion an den R¨andern, d.h. ∂x Ψ(0) = ∂x Ψ(π) = 0. Der Wert der Wellenfunktion kann dort aber beliebig sein. L¨osen Sie die station¨ are Schr¨odingergleichung unter dieser Randbedingung, d.h. bestimmen Sie alle erlaubten Energien und die zugeh¨origen Eigenzust¨ande, und vergleichen Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten mit der klassischen und mit denen der Kiste mit harten W¨ anden. Was f¨ allt (vor allem am Rand) auf? b. In der Realit¨ at werden die W¨ ande eines Kastens Wir betrachten nun das einfache Modell  2 mω 2   2 x V (x) = 0   mω2 2 2 (x − π) durch ein glattes Potential beschrieben. x<0 0<x<π x>π ~ mit harmonischen W¨ anden. Zur Vereinfachung der folgenden Rechnung sei ω = n2 m f¨ ur n ∈ N. 2 2 Zeigen Sie zun¨ achst, dass der gew¨ ohnliche harmonische Oszillator V (x) = mω 2 x eine Gaußfunktion als Eigenfunktion zum Eigenwert E = ~ω/2 hat. Verwenden Sie diese als L¨osung im Bereich der W¨ ande. Die Forderung, dass ψ stetig differenzierbar auf R sein soll, f¨ uhrt zu einem neuen Randwertproblem auf [0, π]. Bestimmen sie die L¨osung und vergleichen Sie mit Teil a. Was passiert f¨ ur n → ∞? 2