Lineare Algebra 1 – Übungsblatt 2
Universität Basel – HS2015
Abgabe im Mathematischen Institut am 28.09.15 bis spätestens um 18.00 oder
am Montag in der Vorlesung. Bitte die Name von Ihres Assistierenden auf das
Blatt schreiben.
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Standardprogramm
Aufgabe 1 (S 3 Punkte). Beweisen Sie, dass die folgende Abbildung invertierbar ist:
f : R \ {1} → R \ {2} , x 7→
2x + 1
x−1
Bestimmen Sie die inverse Abbildung.
Aufgabe 2 (S 3 Punkte). Sei X eine endliche Menge. Sei f : X → X eine Abbildung.
Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
1. f ist injektiv;
2. f ist surjektiv;
3. f ist bijektiv.
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Ergänzungsprogramm
Aufgabe 3 (E 3 Punkte). Zeigen Sie, dass gilt: f : X → Y ist bijektiv ⇔ ∃g : Y → X
mit g ◦ f = idX und f ◦ g = idY .
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Extra–Standardprogramm
Aufgabe 4. Seien A, B zwei Mengen. Beweisen Sie, dass A = B genau dann wenn ∃
eine Menge C mit
A ∩ C = B ∩ C und A ∪ C = B ∪ C.
Aufgabe 5. Seien A, B zwei Mengen. Beweisen Sie
1. A \ (A \ B) = A ∩ B;
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2. (A \ B) \ (B \ A) = A \ B;
3. A ∪ (B \ A) = A ∪ B;
4. (A \ B) ∪ (A ∩ B) = A.
Aufgabe 6. Seien A, B, C drei Mengen. Beweisen Sie
1. (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C);
2. (A \ B) \ C ⊂ A \ (B \ C);
3. (A \ B) \ C = A \ (B \ C) genau dann wenn A ∩ C = ∅.
4. A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C).
Aufgabe 7. Bestimmen Sie die Potenzmengen von A = P(∅) und B = P({a}).
Aufgabe 8. Seien A, B zwei Mengen. Beweisen Sie
1. P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B) genau dann wenn A ⊂ B oder B ⊂ A;
2. P(A \ B) ⊂ (P(A) \ P(B)) ∪ {∅};
3. P(A \ B) = (P(A) \ P(B)) ∪ {∅} genau dann wenn A ⊂ B oder A ∩ B = ∅.
Aufgabe 9. Seien A, B zwei Mengen und f : A → B eine Abbildung. Seien X1 , X2 ∈
P(A) und Y1 , Y2 ∈ P(B). Beweisen Sie
1. f (X1 ∩ X2 ) ⊂ f (X1 ) ∩ f (X2 );
2. f (X1 ∪ X2 ) = f (X1 ) ∪ f (X2 );
3. f (X1 \ X2 ) ⊃ f (X1 ) \ f (X2 );
4. f −1 (Y1 ∩ Y2 ) = f −1 (Y1 ) ∩ f −1 (Y2 );
5. f −1 (Y1 ∪ Y2 ) = f −1 (Y1 ) ∪ f −1 (Y2 );
6. f −1 (Y1 \ Y2 ) = f −1 (Y1 ) \ f −1 (Y2 );
Geben Sie Beispiele, bei denen in 1 und/oder 3 die Gleichheit nicht gilt.
Aufgabe 10. Sei X eine endliche Menge und A eine Teilmenge von X. Sei f : A → X
eine Bijektion. Beweisen Sie, dass A = X. Was könnten Sie sagen, wenn X unendlich
wäre?
Aufgabe 11. Sei X eine nichtleere Menge. Sei f : X → P(X) die Abbildung definiert
durch x 7→ X \ {x}. Beweisen Sie, dass f injektiv, aber nicht surjektiv ist.
Aufgabe 12. Beweisen Sie, dass die Relationen in Beispiel 1.29 (sehe das Skript)
Äquivalenzrelationen sind.
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Extra–Ergänzungsprogramm
Aufgabe 13. (∗ ) Beweisen Sie, dass es für jede Menge X keine Bijektion
f : X → P(X)
gibt.
Aufgabe 14. Sei X eine Menge. Eine Partition P ist eine Teilmenge der Potenzmenge
P(X), deren Elemente nichtleere Teilmengen von X sind, sodass jedes Element von X
in genau einem Element von P enthalten ist. Sei A die Menge aller Äquivalenzrelationen
auf X und B die Menge aller Partitionen von X. Beweisen Sie, dass A in Bijektion zu
B steht.
Aufgabe 15. (∗ ) Seien A, B zwei nichtleere Mengen. Zeigen Sie: Wenn es eine injektive
Abbildung f : X → Y und eine injektive Abbildung g : Y → X gibt, dann gibt es eine
Bijektion zwischen X und Y .
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