22.01.2015
Prof. Dr. Tobias Lamm
Dr. Simon Blatt
Analysis 1
12. Übungsblatt
Aufgabe 1
(K, 4 Punkte)
Für n ∈ N denieren wir die Funktionen fn , gn : R → R durch
fn (x) =
beziehungsweise
2nx
gn (x) = 2 − 2nx
0
nx
1 + n|x|
1
,
für 0 ≤ x < 2n
1
1
für 2n ≤ x ≤ n ,
für x < 0 und x > n1 .
Untersuchen Sie die Funktionenfolgen (fn ) und (gn ) auf punktweise und gleichmäÿige Konvergenz.
Aufgabe 2
Sei D ⊂ Rm und für alle k ∈ N seien fk : D → R Funktionen mit
∞
X
kfk k∞ < ∞.
k=1
Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge (
konvergiert.
Pn
k=1 fk )
gleichmäÿig gegen eine Funktion f : D → R
Aufgabe 3
Es sei
f (x) :=
∞
X
g(10n x)
n=0
10n
für x ∈ R wobei g(x) := inf{|x − k| : k ∈ Z}.
1. Zeigen Sie, dass f stetig ist.
2. Beweisen Sie, dass f nirgends dierenzierbar ist, d.h. dass für alle x ∈ R die Funktion
g nicht dierenzierbar in x ist.
1
Aufgabe 4
(K, 4 Punkte)
1. Zeigen Sie, dass die Funktion
(
1,
χQ∩[0,1] (x) :=
0,
fürx ∈ Q ∩ [0, 1]
für x ∈/ Q ∩ [0, 1]
nicht Riemann-integrierbar auf [0, 1] ist.
2. Beweisen Sie, dass die Funktion f : [0, 1] → R
(
0,
f (x) = 1
q,
Riemann-integrierbar ist und
Abgabe:
für x ∈ [0, 1] \ Q
falls x = pq mit teilerfremden p, q,
R1
0
f (x)dx = 0.
Donnerstag, 29. 01. 2015, 11:30 Uhr.
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