PN1 Einf¨uhrung in die Physik f¨ur Chemiker 1 Prof. J. Lipfert WS 2014/15 ¨ L¨osungen zu Ubungsblatt 9 ¨ L¨ osungen zu Ubungsblatt 9 Aufgabe 1 Fliehkraftregler. Bei einem Fliehkraftregler mit der Drehzahl n0 = 950min −1 und dem Tr¨agheitsmoment J0 = 2, 8kg · m 2 wird beim Abkoppeln vom Antrieb mittels einer Stellkraft F der Radius r verkleinert, wobei ein Tr¨agheitsmoment J1 = 0, 5kg ·m 2 ermittelt wird (Bild). Welche Drehzahl n1 besitzt nun der Fliehkraftregler? L¨ osung: Drehimpulserhaltungssatz anwenden: J0 ω0 = J1 ω1 Mit ω = 2πn; ω einsetzen liefert: J0 n0 = J1 n1 Somit n1 = n0 JJ01 = 950min −1 · 2,8kg·m 2 0,5kg·m 2 = 5320min −1 Aufgabe 2 Walze. Eine Walze vom Durchmesser d = 0, 10m h¨angt an zwei auf ihren Umfang gewickelten F¨aden und f¨allt aus einer H¨ohe h = 2m a) Welche Winkelgeschwindigkeit ω hat sie am Ende dieses Weges? b) Welche Zeit t wird ben¨otigt, wenn die Fallbewegung lotrecht erfolgt? 1 L¨ osung: zur a: Die Rotationsenergie gleichsetzen mit der potentiellen Energie: 1 I ω 2 = mgh 2 Die Walze dreht sich nicht um ihren Schwerpunkt. Die Drehachse ist parallel zur Schwerpunktsachse verschoben. Tr¨agheitsmoment ist nun: IS + m · r 2 · IS ist das Tr¨agheitsmoment eines Objekts, das sich um sein eigenen Schwerpunkt dreht. Hier bei der Walze ( ein Vollzylinder ) ist IS = 12 mr 2 . · m ist die Masse des Objekts und r ist die Verschiebung parallel zur Schwerpunktsachse. Somit: 12 I ω 2 = mgh → 1 2 · ( 12 mr 2 + mr 2 ) · ω 2 = mgh → 1 4 · mr 2 ω 2 + 12 · mr 2 ω 2 = mgh 4gh 3r 2 Somit ω = = 102,3 s−1 zur b: h = 12 gt 2 → t = 2h g Winkelbeschleunigung α = = g r ω =α·t = gt r →α= →g = v˙ r d(ω) ; dt mit ω = v r rω t 2 Einsetzten in: t = 2ht rω t= √ t= t= 2h rω 2h liefert g : √ : t 2h rω = 0, 78s Aufgabe 3 Kurzschlussl¨ aufermotor. Ein Kurzschlussl¨aufermotor mit einem Anlaufmoment M = 250N · m und einem Tr¨agheitsmoment J = 0, 34kg · m 2 wird vom Stillstand aus bis zu einer Drehzahl n1 = 1000min −1 beschleunigt. a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω? ¨ b) die Anderung des Drehimpulses ∆L? c) die Anlaufzeit des Motors t? L¨ osung: zur a: ω = 2πn = 104, 7s −1 zur b: ∆L = 2πJ (n1 − n0 ) wobei n0 = 0 ∆L = ωJ = 35, 6kg ms 2 zur c: ∆L = Mt → t = ∆L M = 0, 1424s Aufgabe 4 Kollergang. Ein Kollergang besteht aus zwei gleichen (zylindrischen) Mahlsteinen, von denen nur einer (Radius r0 und Masse m) betrachtet wird. Er rollt in einer horizontalen Ebene auf einem Kreis vom Radius r. Die Winkelgeschwindigkeit um die Kreisbahnachse ist ω. Die Achse des Mahlsteines ist an der Kreisbahnachse (Punkt A) gelenkig befestigt. a) Wie groß sind Winkelgeschwindigkeit ω0 und Drehimpuls L0 des Mahlsteines bzgl. seiner Zylinderachse A-S? b) Welches Drehmoment M ist erforderlich, um die durch den Umlauf des Kollergangs ¨ auf der Kreisbahn bedingte Anderung seines Drehimpulsvektors L0 hervorzurufen? c) Welche Auflagekraft F entsteht im Punkt B w¨ahrend des Umlaufs? (Daten:r = 1, 2m; m = 320kg; r0 = 0, 4m und ω = 6, 12s −1 ) (ω wird durch einen Motor u ¨ber die vertikale Achse, die durch den Punkt A geht, erzeugt.) 3 L¨ osung: zur a: Die Bahngeschwindigkeit im Punkt B: ω0 = ω rr0 = 18, 4s −1 Drehimpuls des Mahlsteines bzgl. seiner Zylinderachse A-S: L0 = JS ω0 mit JS = 21 mr02 : L0 = 12 mωrr0 = 470kg ms 2 zur b: M = dL und dL = L0 d φ (s. Bild) dt Somit ist M = L0 dφ = L0 ω = 12 mrr0 ω 2 = 2, 88kNm dt zur c: M = (F − mg)r somit ist F = M r + mg = m( 12 ω 2 r0 + g) = 5, 54kN 4