Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universit¨at D¨ usseldorf Prof. Dr. Oleg Bogopolski Dr. Christian Axler WiSe 2014/15 ausgegeben am 21.10.2014 Abgabe: Di. 28.10.2014 Einige dieser Aufgaben k¨onnen Sie schon jetzt l¨osen. Der Begriff limn→∞ wird am Freitag erkl¨art. Alle Antworten m¨ ussen begr¨ undet werden! Analysis I ¨ Ubungsblatt 2 √ 1 1 und 2 der Gr¨oße nach q q an. Begr¨ unden Sie Ihre Antwort mit Hinweisen auf S¨atze und Axiome aus der Vorlesung. [4 Punkte] Aufgabe 1. Sei q ∈ (0, 1). Ordnen Sie die Zahlen q, q 2 , q, Aufgabe 2. Beweisen Sie die folgenden Aussagen per Induktion: a) F¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n 1 gilt 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = n(n + 1)(2n + 1) . 6 [4 Punkte] b) F¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n 1 gilt n k=1 1 1 =1− . k(k + 1) n+1 [4 Punkte] c) F¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n 5 gilt 3n > 7n2 . [4 Punkte] Aufgabe 3. Beweisen Sie die folgende Variante der Bernoullischen Ungleichung: F¨ ur 0 x 1 und alle nat¨ urliche Zahlen n 1 gilt 1 . 1 + nx (1 − x)n [4 Punkte] Hinweis. Induktion per n, analog zu dem Beweis der Bernoullischen Ungleichung aus der Vorlesung 3. Fortsetzung Seite 2. 1 Aufgabe 4. Wir definieren eine Folge (fn )n∈N rekursiv1 : f0 := 0, f1 := 1, fn+1 := fn + 2fn−1 . Beweisen Sie per Induktion, dass fn = 2n − (−1)n 3 f¨ ur alle n ∈ N gilt. [4 Punkte] ¨ Hinweis. Uberpr¨ ufen Sie diese Formel f¨ ur n = 0 und n = 1. Dann setzen Sie voraus, dass sie f¨ ur n = k und n = k − 1 gilt und beweisen, dass diese Formel f¨ ur n = k + 1 gilt. Dabei ist x0 = 1 f¨ ur alle x ∈ R. Aufgabe 5. a) Sei > 0. Finden Sie ein n0 ∈ N, so dass f¨ ur alle nat¨ urliche n n0 gilt: 3n + 2 3 − < . 5n + 7 5 [4 Punkte] b) Beweisen Sie: √ √ lim ( n + 1 − n) = 0. n→∞ [4 Punkte] √ √ √ √ Hinweis. Betrachten Sie ( n + 1 − n) · ( n + 1 + n). 1 Insbesondere gilt f2 f3 f4 = f1 + 2f0 = 1, = f2 + 2f1 = 3, = f3 + 2f2 = 5. 2
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