¨ Ubungen zur Vorlesung Mechanik und Quantenmechanik SS 2015 Prof. Dr. Wolfgang Kinzel Aufgabe 10: Schwingungsdauer Eine Punktmasse m soll eindimensional im Potential U (x) = D x6 schwingen. Zeigen Sie, dass die Schwingungsdauer proportional zu 1/a2 abnimmt, wobei a die Amplitude der Schwingung ist. Aufgabe 11: Oszillator mit Reibung und Antrieb Auf ein Teilchen der Masse m, das sich in einer Raumdimension bewegt, wirken außer einer r¨ uckstellenden Federkraft −m ω02 x eine Reibungskraft −2m γ x˙ und ein periodischer Antrieb F (t) = m f0 cos(ωt). Als Bewegungsgleichung ergibt sich also x¨ + 2γ x˙ + ω02 x = f0 cos(ωt) (1) Die Theorie f¨ ur eine solche lineare inhomogene DGL sagt, dass die allgemeine L¨osung die Form x(t) = xh (t) + xs (t) hat, wobei xh (t) eine allgemeine L¨osung der homogenen DGL (f0 = 0) ist, und xs (t) eine spezielle L¨osung der inhomogenen DGL ist. F¨ ur γ > 0 klingt die L¨osung der homogenen Gleichung exponentiell ab. Sie beschreibt das Einschwingverhalten und soll hier außer Acht gelassen werden. Wir sind im Folgenden daher nur an der speziellen L¨osung interessiert. Nach dem Einschwingen wird der Oszillator der Frequenz des Antriebs – im Allgemeinen mit einer Phasenverschiebung – folgen. Die Rechnung vereinfacht sich, wenn man Gleichung (1) als Realteil der komplexen Gleichung x¨ + 2γ x˙ + ω02 x = f0 eiωt auffasst und hierf¨ ur den Ansatz xs (t) = x0 eiωt = |x0 | ei(ωt+ϕ) macht. Die physikalische L¨osung ist dann der Realteil hiervon, also xs (t) = |x0 | cos(ωt + ϕ) . a) Bestimmen Sie mit diesem Ansatz die Amplitude |x0 |(ω). b) Skizzieren Sie die Funktion |x0 |(ω) f¨ ur γ < ω0 √ 2 und f¨ ur γ > ω0 √ . 2 c) Berechen und skizzieren Sie die Funktion ϕ(ω). d) Wie groß ist die zeitlich gemittelte Leistung P = F (t) x˙ s (t), die wegen der Reibung vom Antrieb erbracht werden muss ? Aufgabe 12: Pendelvariante (Staatsexamen Herbst 2008) Zwei Massenpunkte m1 , m2 befinden sich an den Enden eines starren, masselosen Stabes. Der Stab ist in einem Punkt P so gelagert, dass er sich in einer vertikalen Ebene um P drehen kann. Die Abst¨ande der Massenpunkte von P seien `1 und `2 . Es wirke die Schwerkraft. ϕ m1 P l1 l2 m2 a) Stellen Sie die Lagrangefunktion L(ϕ, ϕ) ˙ auf. b) Bestimmen Sie die Gleichgewichtslagen und diskutieren Sie deren Stabilit¨at. c) Wie groß ist die Frequenz kleiner Schwingungen um die stabile Gleichgewichtslage? F¨ ur welche Parameter des Pendels verschwindet die Frequenz? Beschreiben Sie die Form der Bewegung f¨ ur diesen Spezialfall. Besprechung am 13.05.2015 Web-Seite der Vorlesung: http://www.physik.uni-wuerzburg.de/index.php?id=5900