Übung 4 - Theoretische Physik I

Prof. Jan Kierfeld
Theoretische Physik Ib
Raum P1-O2-312
Tel. 3545
email: [email protected]
1. Mai 2015
Besprechung am 12./13. Mai
Computational Physics
¨
Ubung
4
Zeeman Katastrophenmaschine, Poincar´e-Schnitt
Aufgabe 1: Zeeman Katastrophenmaschine (10 Punkte)
siehe T.J. Litherland, A. Siahmakoun, Am. J. Phys. 63, 426 (1995).
siehe auch http://dx.doi.org/10.1119/1.17906 (aus dem Uni-Netz zug¨anglich)
Die Zeeman-Katastrophenmaschine besteht aus dem in der Abbildung gezeigten Aufbau in
der xy-Ebene. An einem drehbaren Rad (Radius R, Drehwinkel θ, Mittelpunkt im Ursprung)
sind außen in Punkt T zwei gleiche Federn (Federkonstante= k, Ruhel¨ange= b) befestigt.
Die eine Feder ist mit dem festen Punkt A = (−a, 0) verbunden, die andere Feder mit
dem Punkt P = (x, y), dessen Trajektorie P = (x(t), y(t)) auch zeitabh¨angig von außen
vorgegeben werden kann.
Das Rad dreht sich dann unter dem Einfluss der Drehmomente der Federn. Das Rad habe ein Tr¨agheitsmoment I und unterliege einem Reibungsmoment −γω, wenn es sich mit
Winkelgeschwindigkeit ω = θ˙ dreht. Die Bewegungsgleichung lautet dann
I θ¨ = −γ θ˙ + F (θ),
1
(1)
wobei F (θ) das noch zu bestimmende Gesamtdrehmoment auf das Rad ist. F (θ) ist eine
nicht-lineare Funktion, was zu chaotischen Verhalten f¨
uhren kann.
Im Folgenden betrachten wir die Werte
R = 5 cm , b = 10 cm , a = 20 cm,
k = 250 g s−2 , I = 6250 g cm2 , γ = 2000 g cm2 s−1 .
a) Bestimmen Sie die Funktion F (θ). Gehen Sie dazu von der potentiellen Energie der beiden
Federn aus,
1
1
V (θ) = k(d1 (θ) − b)2 + k(d2 (θ) − b)2
2
2
d1 (θ) = |(−a, 0) − R(cos θ, sin θ)| , d2 (θ) = |R(cos θ, sin θ) − (x, y)|.
Das Drehmoment ergibt sich als Ableitung F (θ) = −∂θ V . Berechnen Sie F (θ) analytisch.
Plotten Sie f¨
ur die obigen Werte und die Position (x, y) = (18, 1) cm des freien Endes die
Funktionen V (θ) und F (θ). Berechnen Sie zur Kontrolle −∂θ V durch numerisches Ableiten.
Wie viele Minima der potentiellen Energie (Gleichgewichtslagen) finden Sie?
Als L¨
osung Plots von F (θ) (analytische Formel und numerisch) und V (θ) einschicken.
b) Plotten Sie jeweils V (θ) f¨
ur (x, y) = (16, 0) cm und (x, y) = (16, 2) cm. Wie viele Gleichgewichtslagen gibt es nun?
Als L¨
osung 2 weitere Plots von V (θ) einschicken.
L¨osen Sie nun numerisch die Bewegungsgleichung (1) f¨
ur θ(t) mit Hilfe des Runge-KuttaVerfahrens 4. Ordnung (also zuerst (1) wieder in 2 Bewegungsgleichungen 1. Ordnung umschreiben) mit fester Schrittweite h f¨
ur (x, y) = (16, 0) cm und (x, y) = (16, 2) cm. Starten
Sie jeweils bei θ(0) = 2 und θ(0) = 4 mit ω = 0. Wann erreichen Sie die Gleichgewichtslage?
Als L¨
osung die 4 Plots der Zeitverl¨
aufe θ(t) einschicken.
c) Allgemein findet man 2 Minima von V (θ), wenn (x, y) innerhalb der blauen Linie in der
Abbildung liegt und nur 1 Minimum sonst. Die Existenz von 2 m¨oglichen Gleichgewichtslagen
hat großen Einfluss auf die Dynamik, wenn man das freie Ende u
¨ber die blaue Gebietsgrenze
bewegt.
Wir machen dazu einen ersten Test, indem wir zuerst das freie Ende gem¨aß
2
t cm , t = 0 − 100 s
(x, y) = 16,
100 s
von (x, y) = (16, 0) cm nach (x, y) = (16, 2) cm bewegen und dazu die Bewegungsgleichung
mit Startwerten θ(0) = 3.88 (Gleichgewichtslage f¨
ur (x, y) = (16, 0) cm) und ω = 0 l¨osen.
Als L¨
osung Plot des Zeitverlaufs θ(t) einschicken.
(siehe Fig. 3a in dem angegebenen Papier)
2
6
4
y
Aufgabe 2L
Aufgabe 1cL
2
0
-2
-4
-6
14
16
18
20
22
24
x
Dann bewegen wir das Ende wieder zur¨
uck gem¨aß
2
(x, y) = 16, 2 −
t cm , t = 0 − 100 s
100 s
ausgehend von dem Endwert f¨
ur θ aus dem vorigen Aufgabenteil und ω = 0. Erreichen wir
wieder die Gleichgewichtslage θ = 3.88, mit der wir begonnen haben?
Als L¨
osung wieder Plot des Zeitverlaufs θ(t) einschicken.
3
Aufgabe 2: Bifurkationen und Poincar´
e-Schnitte (10 Punkte)
Nun treiben wir das System periodisch, indem wir das freie Ende in y-Richtung mit einer
Frequenz von 10Hz bewegen bei festem x:
(x, y) = (x, A sin (Ωt)) cm , A = 2.5 cm , Ω =
2π −1
s .
10
a) Fertigen Sie numerisch Phasenraumportraits an, indem Sie die Bewegung in der θ-ωEbene plotten, d.h. Punkte (θ(t), ω(t)) f¨
ur den Zeitverlauf. Fertigen Sie 6 Phasenraumportraits an f¨
ur x1 = 21.8 cm, x2 = 21.9 cm, x3 = 21.925 cm, x4 = 21.95 cm, x5 = 22 cm und
x6 = 22.25 cm an. Anfangsbedingungen sind jeweils θ(0) = 0 und ω(0) = 0. Was beobachten
Sie?
Als L¨
osung die 6 Phasenraumportraits einschicken.
(siehe Fig. 5 und 7 in dem angegebenen Papier)
b) Beim Poincar´e-Schnitt nehmen wir den Punkt im Phasenraum nur einmal pro Periode
auf, also beispielsweise zu Zeiten
tn = nT = 2πn/Ω , n = 10, 11, ...
(2)
Der Poincar´e-Schnitt besteht also aus diskreten Punkten (θ(tn ), ω(tn )) in der θ-ω-Ebene.
Integrieren Sie bis t = 1000 f¨
ur x = 22 cm und nehmen einen Poincar´e-Schnitt f¨
ur n =
10, 11, ..., 100 auf.
Poincar´
e-Schnitt einschicken.
c) Nun sollen Sie noch einen “Bifurkationsplot” anfertigen. Dazu plotten sie f¨
ur verschiedene
x nur noch die diskreten Werte θ(tn ) f¨
ur n = 10, 11, ..., 100, also f¨
ur jeden x Wert 100 Punkte in der x-θ-Ebene. Gehen Sie dazu die x-Werte x = 21.8 bis 22.0 cm durch in m¨oglichst
kleinen Schritten ∆x = 0.01 cm oder sogar 0.001 cm.
Als L¨
osung Bifurkationsplot einschicken.
(siehe Fig. 8 in dem angegebenen Papier)
4

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