Topologie (10480-01) Universität Basel im FS 2015 Blatt 4 Prof. Dr

Topologie (10480-01)
Blatt 4
Universit¨at Basel im FS 2015
Prof. Dr. P. Habegger
Die nat¨
urlichen Zahlen sind die Elemente von N = {1, 2, 3, . . .}.
Aufgabe 1.
Q (4 + 0 Punkte) Wir betrachten X = {0, 2} mit der diskreten Topologie
N
und X = n∈N X mit der Produkttopologie.
(i) Zeigen Sie, dass
X xn
f (x1 , x2 , x3 , . . .) =
3n
n∈N
eine stetige und injektive Abbildung f : X N → [0, 1] definiert. Das Bild C der
Abbildung f heisst Cantormenge.
(ii)* Zeigen Sie, dass die durch f aus (i) induzierte Abbildung X N → C ein Hom¨oomorphismus
ist.
Aufgabe 2. (6 Punkte) Wir identifizieren die Kanten des Quadrats [0, 1]2 mittels einer
¨
Aquivalenzrelation
∼ wie folgt. Es gilt

(x, y) = (x0 , y 0 ), oder



x = x0 und y, y 0 ∈ {0, 1}, oder
(x, y) ∼ (x0 , y 0 ) ⇐⇒
y = y 0 und x, x0 ∈ {0, 1}, oder



x, x0 , y, y 0 ∈ {0, 1}.
Zeigen Sie, dass [0, 1]2 / ∼ zum Torus S 1 × S 1 hom¨oomorph ist.
Aufgabe 3. (3 + 1 + 2 + 2 Punkte) Sei G eine topologische Gruppe.
(i) Jedes m ∈ G definiert durch Linksmultiplikation lm (g) = mg eine Abbildung
lm : G → G. Zeigen Sie, dass lm : G → G ein Hom¨oomorphismus ist. Beweisen
Sie die analoge Aussage f¨
ur die Rechtsmultiplikation.
(ii) Zeigen Sie, dass die Inversionsabbildung g 7→ g −1 ein Hom¨oomorphismus G → G
ist.
(iii) Sei H eine Untergruppe von G. Zeigen Sie, dass der Abschluss H von H in G
eine Untergruppe von G ist.
(iv) Beweisen Sie, dass eine offene Untergruppe von G abgeschlossen ist.
Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei X ein topologischer Raum. Beweisen Sie, dass X genau
dann ein Hausdorffraum ist, wenn die Diagonale
{(x, x); x ∈ X}
eine abgeschlossene Teilmenge von X × X ist.
2
Aufgabe 5. (4 Punkte) Sei G eine topologische Gruppe mit Einselement e ∈ G. Zeigen
Sie, dass G genau dann eine Hausdorffraum ist, wenn {e} eine abgeschlossene Teilmenge
von G ist.
Aufgabe 6. (0 + 0 Punkte) Der Einheitskreis S 1 = {z ∈ C r {0}; |z| = 1} mit der
u
¨blichen Multiplikation und der Standardtopologie ist eine topologische Gruppe.
(i)* Sei H eine abgeschlossene Untergruppe von S 1 . Beweisen Sie, dass es a ∈ Z gibt,
mit
H = {z ∈ S 1 ; z a = 1}.
(ii)* Sei n ∈ N und H eine abgeschlossene Untergruppe von (S 1 )n = |S 1 × ·{z
· · × S}1 .
n Faktoren
Beweisen Sie, dass es eine Matrix A = (ai,j )1≤i≤m ∈ Matm,n (Z) mit Rang m gibt,
1≤j≤n
so dass
(
H=
(z1 , . . . , zn ) ∈ (S 1 )n ;
n
Y
j=1
* = freiwillig.
Abgabe am 9. April 2015 um 12 Uhr.
)
a
zj i,j
= 1 f¨
ur alle 1 ≤ i ≤ m .

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