TU Dresden Sommersemester 2015 Fakultät Mathematik

TU Dresden
Sommersemester 2015
Fakult¨at Mathematik und Naturwissenschaften – Fachrichtung Mathematik
Dr. A. Linke
¨
7. Ubungsblatt
zur Vorlesung Ba-OPTINUM-2 (5. Modulbegleitende
Aufgabe)
Die Bearbeitung der modulbegleitenden Aufgabe erfolgt schriftlich. Die Auf¨
gaben sind am 16.7.2015 am Anfang der Vorlesung bzw. Ubung
abzugeben.
Aufgabe 7.1 (1 Punkt)
a) F¨
ur ein beschr¨anktes lineares Funktional f ∈ V 0 aus dem Dualraum eines Banachraums V gibt es ein C > 0, so dass f¨
ur alle v ∈ V gilt:
|< f, v >| ≤ CkvkV .
Zeigen Sie, dass f stetig ist, d.h., zeigen Sie, dass f¨
ur eine Folge (uk ) ∈ V und f¨
ur
ein u ∈ V mit ku − uk kV → 0 f¨
ur k → ∞ folgt:
|< f, u > − < f, uk >| → 0.
b) Sei f ∈ L2 (0, 1). Zeigen Sie, dass durch
Z
v→
1
f vdx
0
f¨
ur alle v ∈ H01 (0, 1) ein beschr¨anktes lineares Funktion in H −1 (0, 1) gegeben ist.
Aufgabe 7.2 (1 Punkt)
Sei f ∈ H −1 (0, 1) gegeben und sei u ∈ H01 (0, 1) die schwache L¨osung des Randwertproblems
−u00 = f, u(0) = u(1) = 0.
Zeigen Sie, dass gilt:
kf kH −1 (0,1)
|< f, v >|
=
sup
|v|1,2
06=v∈H 1 (0,1)
(Benutzen Sie den Riesz’schen Darstellungssatz.)
!
= |u|1,2 .
Aufgabe 7.3 (2 Punkte) (FEM)
Gegeben sei das (schwache) Randwertproblem
−u00 (x) = f,
u(0) = u(1) = 0,
f¨
ur u ∈ H 1 (0, 1) und f ∈ H −1 (0, 1). Implementieren Sie die FEM-Diskretisierung dieses
Randwertproblems mit stetigen st¨
uckweisen linearen Ansatz- und Testfunktionen (P1 FEM) auf einem gleichm¨aßigen Gitter ω = {0, N1 , N2 , . . . , 1}.
a) Geben Sie den Quellcode Ihres Programms ab.
b) Wie sieht die Matrixdarstellung und die rechte Seite dieser FEM-Diskretisierung
f¨
ur f (x) = x2 aus, wenn das Gitter ω = {0, 41 , 12 , 34 , 1} gegeben ist?
c) Wie groß ist der Fehler der FEM-L¨osung in den Knoten des Gitters?

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