Serie 2 - TU Ilmenau

Prof. Dr. Hans Babovsky
Jana Thomann
TU Ilmenau
Institut fu
¨ r Mathematik
WS 2014/15
¨
Numerische Mathematik I - Ubungsserie
2
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Aufgabe 5
Gegeben ist die Gleichung x5 − x − b = 0 mit einer Konstante b > 0.
(a) Zeigen Sie: Im Intervall D = [1, ∞) gibt es eine L¨osung der Gleichung.
(b) Entwerfen Sie ein konvergentes Fixpunkt-Iterationsverfahren zur Berechnung. Ist die
L¨osung eindeutig?
Aufgabe 6:
Gesucht sei ein Fixpunkt x∗ einer Funktion g ∈ C q (lR), q ≥ 2. Es gelte g (x∗ ) = · · · =
g (q−1) (x∗ ) = 0 und g (q) (x∗ ) = 0. Zeigen Sie: Konvergiert die Fixpunkt-Iterationsfolge
x(k+1) = g(x(k) ) gegen x∗ , so ist die Konvergenzordnung gleich q.
Aufgabe 7:
Die Funktion g(x) = x/2 + 2/x besitzt in (0, ∞) den eindeutigen Fixpunkt x∗ = 2.
(a) Zeigen Sie: Die Iteration x(k+1) = g(x(k) ) konvergiert f¨
ur beliebigen Startwert x(0) > 0
gegen x∗ .
Hinweis: Zeigen Sie: (i) Ist x(0) ∈ (0, 2), so ist x(1) > 2 und (ii) Ist x(k) > 2, so ist
2 < x(k+1) < x(k) . Damit ist (x(k) )k=1,2,... eine beschr¨ankte monotone Folge.
(b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Aufgabe 6 die Konvergenzordnung der Folge. Testen Sie
Ihr Ergebnis an Hand eines numerischen Beispiels.
Aufgabe 8:
Gegeben sei eine Funktion f ∈ C 2 (lR) mit einer Nullstelle x∗ . (x(k) ) sei eine gegen x∗
konvergente Newton-Iterationsfolge.
(a) Beweisen Sie die quadratische Konvergenz der Folge unter der Voraussetzung f (x∗ ) =
0 (vgl. Satz (1.4.3)), indem Sie das Newton-Verfahren als Fixpunktiteration f¨
ur die Funktion g(x) = x − f (x)/f (x) interpretieren und Aufgabe 6 anwenden.
(b) Zeigen Sie mit Hilfe von Taylorreihenentwicklungen: Ist f (x∗ ) = 0 und f (x∗ ) = 0,
so konvergiert das Newton-Verfahren nur mit Ordnung 1.