Prof. Dr. Hans Babovsky Jana Thomann TU Ilmenau Institut fu ¨ r Mathematik WS 2014/15 ¨ Numerische Mathematik I - Ubungsserie 2 ————————————————————————————————– Aufgabe 5 Gegeben ist die Gleichung x5 − x − b = 0 mit einer Konstante b > 0. (a) Zeigen Sie: Im Intervall D = [1, ∞) gibt es eine L¨osung der Gleichung. (b) Entwerfen Sie ein konvergentes Fixpunkt-Iterationsverfahren zur Berechnung. Ist die L¨osung eindeutig? Aufgabe 6: Gesucht sei ein Fixpunkt x∗ einer Funktion g ∈ C q (lR), q ≥ 2. Es gelte g (x∗ ) = · · · = g (q−1) (x∗ ) = 0 und g (q) (x∗ ) = 0. Zeigen Sie: Konvergiert die Fixpunkt-Iterationsfolge x(k+1) = g(x(k) ) gegen x∗ , so ist die Konvergenzordnung gleich q. Aufgabe 7: Die Funktion g(x) = x/2 + 2/x besitzt in (0, ∞) den eindeutigen Fixpunkt x∗ = 2. (a) Zeigen Sie: Die Iteration x(k+1) = g(x(k) ) konvergiert f¨ ur beliebigen Startwert x(0) > 0 gegen x∗ . Hinweis: Zeigen Sie: (i) Ist x(0) ∈ (0, 2), so ist x(1) > 2 und (ii) Ist x(k) > 2, so ist 2 < x(k+1) < x(k) . Damit ist (x(k) )k=1,2,... eine beschr¨ankte monotone Folge. (b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Aufgabe 6 die Konvergenzordnung der Folge. Testen Sie Ihr Ergebnis an Hand eines numerischen Beispiels. Aufgabe 8: Gegeben sei eine Funktion f ∈ C 2 (lR) mit einer Nullstelle x∗ . (x(k) ) sei eine gegen x∗ konvergente Newton-Iterationsfolge. (a) Beweisen Sie die quadratische Konvergenz der Folge unter der Voraussetzung f (x∗ ) = 0 (vgl. Satz (1.4.3)), indem Sie das Newton-Verfahren als Fixpunktiteration f¨ ur die Funktion g(x) = x − f (x)/f (x) interpretieren und Aufgabe 6 anwenden. (b) Zeigen Sie mit Hilfe von Taylorreihenentwicklungen: Ist f (x∗ ) = 0 und f (x∗ ) = 0, so konvergiert das Newton-Verfahren nur mit Ordnung 1.
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