2. Bestimmen Sie das Konvergenzverhalten der folgenden Reihen

2. Bestimmen Sie das Konvergenzverhalten der folgenden Reihen:
(a)
P∞
k=1
3k+1
k2
Lösungsvorschlag. Mit dem Minorantenkriterium lässt sich nachweisen, dass die Reihe
divergent ist:
• Es gilt
•
P∞
1
k=1 k
3k+1
k2
≥
3k
k2
=
3
k
≥
1
k
für alle k ∈ N
)
Also muss auch
P∞
ist divergent (harmonische Reihe!)
k=1
3k+1
k2
Das Quotientenkriterium trifft für diese Reihe keine Aussage:
2 ak+1 3(k + 1) + 1
3k + 4
k
k2
a = (k + 1)2 · 3k + 1 = k 2 + 2k + 1 · 3k + 1
k
=
k 3 · (3 + k4 )
3k 3 + 4k 2
=
3k 3 + k 2 + 6k 2 + 2k + 3k + 1
k 3 · (3 + k7 + k52 +
→0
z}|{
4
k
=
−→ 1
5
1 k→∞
7
3+ + 2 + 3
k{z k }
|k
3+
→0
ak+1 ak ≤ d für fast alle k ∈ N.
Also lässt sich kein d < 1 finden, so dass Seite 1 von 2
1
)
k3
divergieren
P∞
(b)
k=1
(−1)k ·(2k − k1 )
3k
Lösungsvorschlag. Die Reihe ist konvergent. Nachweis mittels Majorantenkriterium, Quotientenkriterium oder Leibnizkriterium.
Mit Majorantenkriterium:
• Es gilt
(−1)k ·(2k − k1 )
3k
≤
2k − k1
3k
≤
2k
3k
=
k
2
3
für alle k ∈ N
k
P
2
• ∞
ist konvergent (geometrische Reihe!)
k=1 3
Also konvergiert auch
P∞
k=1
(−1)k ·(2k − k1 )
.
3k
Mit Quotientenkriterium:
1
)
ak+1 (−1)k+1 · (2k+1 − k+1
3k
=
·
a 3k+1
(−1)k · (2k + k1 ) k
1
(−1) · (2k+1 − 1 ) 1 2k+1 · (1 −
)
k+1
(k+1)·2
k+1 − ·
=
=
1
1
k
k
3
3 · (2 + k )
2 · (1 + k·2k )
1
1
1 − (k+1)·2
2 1 − (k+1)·2k+1 k+1
2
= 2·
= − ·
−→
1
1
k→∞ 3
1 + k·2k 3
1 + k·2k
3
ak+1 ak+1 2
3
→
<
1
existiert
ein
d
<
1
(z.B.
d
=
),
so
dass
ak
3
4
ak ≤ d für fast alle k ∈ N.
P∞ (−1)k ·(2k − k1 )
Da Damit konvergiert
k=1
3k
.
Mit Leibnizkriterium:
Wir müssen nachweisen, dass
2k − k1
3k
eine monoton fallende Nullfolge ist.
•
2k − k1
3k
konvergiert gegen 0, da 0 ≤
•
2k − k1
3k
ist monoton fallend: Sei k1 ≤ k2 . Dann gilt
2k1 −
1
k1
3k1
1
2k1
= k1 − kk11 =
3
3
k1
2
3
2k − k1
3k
≤
1
≥
−
k1 · 3k1
2k
3k
= ( 23 )k und ( 23 )k −→ 0
k→∞
k2
2
3
Seite 2 von 2
1
≥
−
k1 · 3k1
k2
2
3
−
2k2 −
1
=
k2 · 3k2
3k2
1
k2

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