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Grenzwertsätze von Zahlenfolgen
1.
Vervollständigen Sie die folgende Tabelle.
(explizite Bildungsvorschrift; exakter Wert und einen auf 2 Dezimalstellen gerundeten Wert für die Folgeglieder)
2. Vermuten Sie den Grenzwert und zeigen Sie, dass die Zahlenfolge gegen den von Ihnen vermuteten Wert konvergiert.
3. Wie entsteht der Grenzwert der Summen-, der Differenzen-, der Produkt- und der Quotientenfolge aus den
Grenzwerten der Folgen (an) und (bn)?
MuPAD-Befehle für die Folge (an):
• (4*n-1)/n $ n=1..10;
• float((4*n-1)/n) $ n=1..10;
Summenfolge
s n = a n + bn
n
an =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
7
= 3,5
2
11
≈ 3,67
3
15
= 3,75
4
19
= 3,8
5
23
≈ 3,83
6
27
≈ 3,86
7
31
≈ 3,88
8
35
≈ 3,89
9
39
= 3,9
10
g
4
Entstehung
10
4n − 1
3n + 4
bn =
2n
n
g1
sn =
7
≈ 3,5
2
5
= 2,5
2
13
≈ 2,17
6
Differenzenfolge
d n = a n − bn
Produktfolge
pn = an ⋅ bn
Quotientenfolge
a
qn = n
bn
11n + 2
2n
13
= 6,5
2
1
15
= 7,5
2
2
19
= 1,9
10
11
≈ 1,83
6
25
≈ 1,79
14
7
= 1,75
4
31
≈ 1,72
18
17
= 1,7
10
3
2
23
≈ 2,09
11
79
≈ 5,64
14
1085
≈ 6,70
162
g2
Grenzwertnachweis für die Folge (an):
Rechnung:
Formulierung:
an − g < ε ⇒
4n − 1
1
1
1
1
−4 <ε ⇒ 4− −4 <ε ⇒ − <ε ⇒ <ε ⇒ n >
ε
n
n
n
n
1.
ε
4n − 1
1
1 1 1
−4 = 4− −4 = − = <
= ε , also an − 4 < ε .
Dann gilt für alle n > n0: a n − g =
n
n
n n n0
Sei ε > 0 beliebig vorgegeben. Es sei
n0 =
Die Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert 4.

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