Epsilon-Delta-Kriterium fuer die Konvergenz

David Vajda
Epsilon-Delta-Umgebung
Fuer die Stetigkeit einer Funktion gilt:
Konvergiert die Folgen (an ) gegen a, dann konvergiert die Folge f (an ) gegen
f (a). Konvergenz koennen wir nun so ausdruecken: Wir haben ja (an ) konvergiert gegen a.
Das laesst sich ausdruecken als: |an − a| < ε. Und umgekehrt |f (an ) − f (a)| < ε.
Das ergibt als gesamten Ausdruck
|an − a| < ε ⇒ |f (an ) − f (a)| < ε
Nun muss man aber immer daran denken. Im Grunde genommen ist ε nichts
anderes als eine Nullfolge. Wenn wir sagen, etwas konvergiert gegen Null und
haelt sich somit in einer ε-Umgebung um 0 auf, dann halten sich die Werte zum
Beispiel bei den immer kleiner werdenden Werten {0.1; 0.01; 0.001; 0.0001; . . . }
1
auf. Das ist aber widerum nichts anderes als eine Nullfolge . ε ist im Grunde
n
1
nichts anderes als eine Nullfolge
.
n
Dazu kann man sagen, es gibt auch den Satz:
Ist die Folge (αn ) eine Nullfolge und dann konvergiert die Folge (an ) gegen a,
wenn gilt
|an − a| < (αn )
. Nun damit koennen wir auch ausdruecken:
|an − a| <
1
n
. Umgekehrt. Nun kommt das Epsilon-Delta-Kriterium. Fuer dieses gilt:
|an − a| < ε ⇒ |f (an ) − f (a)| < δ
Aber nun kommen wir zum spannenden: Stellen wir Folgenkriterium und EpsilonDelta-Kriterium einander gegenueber. Dann erhalten wir
|an − a| < ε ⇒ |f (an ) − f (a)| < ε
und
|an − a| < ε ⇒ |f (an ) − f (a) < δ
Nun hatten wir ja gesagt ε und δ sind Nullfolgen. δ kann ε durch eine andere
Nullfolge ersetzen. δ kann nun eine beliebinge Nullfolge sein. Dann steht da zum
Beispiel:
1
1
|an − a| < ⇒ |f (an ) − f (a)| <
n
n
1
1
|an − a| < ⇒ |f (an ) − f (a)| < 2
n
n
1
Nun ist die Folge
die ε ausdrueckt, eine andere Folge, die aber auch gegen
n 1
Null konvergiert, als
, die δ ausdrueckt.
n2
Im Schaubild sieht das so aus: Die Senkrechte stellt die Konvergenz bei den
1
David Vajda
Epsilon-Delta-Umgebung
Funktionswerten dar, die Waagerechte, die Konvergenz der Argumente, die ueber die Folge (an ) gebildet werden. Ist nicht das Epsilon-Delta-Kriterium angewendet, sondern das Folgenkriterium, bilden Senkrechte und Waagerechte ein
Quadrat. Ansonston koennen sie ein Viereck bilden.
Wichtig ist auch δ wird durch eine Folge ausgedrueckt, die irgendwie gegen 0
konvergiert.
2

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