Vortragsübungsblatt 8

Hm-1
Ws 2016/7
Vü-8
Vortragsübung
20.12.16
∑ Aufgabe 1
Abelsche partielle Summation:
P
An = 1‡k‡n ak gilt dann
X
n<k‡m
ak bk = Am bm
Hinweis: Schreiben sie ak = Ak
Sei
P
k
ak bk eine Zahlenreihe. Mit
An bn+1 +
Ak
X
Ak (bk
bk+1 ),
n < m.
n<k<m
1.
∑ Aufgabe 2
P
Abelsches Konvergenzkriterium: Konvergiert die Reihe
an und ist (bn )
P
monoton und beschränkt, so konvergiert auch
an bn . Hinweis: Aufgabe 1.
∑ Aufgabe 3
P
Dirichletsches Konvergenzkriterium: Sind die Partialsummen von
an
P
beschränkt und konvergiert (bn ) monoton gegen Null, so konvergiert
a n bn .
Hinweis: Aufgabe 1.
∑ Aufgabe 4
Die Reihe
a.
P
n
an sei konvergent. Welche der folgenden Reihen konvergiert?
X n+1
an
n
n·1
b.
X p
n
n an
n·1
c.
X
n·1
an |an |
d.
X
an
1 + |an |
n·1
∑ Aufgabe 5
P
Raabesches Konvergenzkriterium: Eine Reihe n an mit positiven Gliedern ist
konvergent, wenn es ein ↵ > 1 gibt, so dass für fast alle n
an+1
‡1
an
↵
.
n
Hinweis: Es gibt eine Majorante mit Folgenglied c/n↵ .
∑ Aufgabe 6
Eine punktförmige Schnecke kriecht auf einem 1 m langen Gummiband mit der
konstanten Geschwindigkeit von 5 cm/min vorwärts. Am Ende der ersten und
jeder weiteren Minute wird das Band homogen um jeweils einen Meter gedehnt.
Wird die Schnecke in endlicher Zeit das rechte Ende erreichen, wenn sie zu
Beginn der ersten Stunde am linken Ende startet?
Hm-1 el..
Ws 16/17 Pöschel
Blatt Vü-8 vom 20.12.16
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