Musterlösung zur Zusatzaufgabe 5

PD Dr. T. Timmermann
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Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie
Übungsblatt 2
Musterlösung zu Aufgabe 5
Zusatzaufgabe 5.
gie
Sei X eine unendliche Menge, versehen mit der ko-endlichen Topoloτcof in = {F c : F ⊆ X endlich}.
Zeigen Sie: Eine Folge (xn )n in X konvergiert bezüglich τcof in genau dann
(a) gegen jedes x ∈ X, wenn sie jede endliche Teilmenge von X schließlich verlässt,
also für jedes endliche F ⊆ X ein nF existiert mit {xn : n ≥ nF } ∩ F = ∅;
(b) gegen genau ein x ∈ X, wenn xn = x für unendlich viele n ∈ N und die Folge jede
endliche Teilmenge von X \ {x} schließlich verlässt.
(Hinweis: Verwenden Sie für die Implikation “⇒” (a) und das Schubfachprinzip.)
Lösung: (a) “⇒”: Sei F ⊆ X endlich. Da X unendlich ist, existiert ein x ∈ F c , und
da xn gegen x konvergiert und F c offen ist, folgt xn ∈ F c für alle bis auf endlich viele
n ∈ N.
“⇐”: Sei x ∈ X beliebig und x ∈ U ⊆ X. Ist U offen, so ist F := U c endlich und nach
Annahme xn ∈ U für alle bis auf endlich viele n ∈ N.
(b) “⇐”: Klar.
“⇒”: Wie in (a) sieht man, dass die Folge muss jede endliche Teilmenge von X \ {x}
schließlich verlassen muss. Wenn sie nicht eine Teilfolge besitzt, die konstant gleich x
ist, konvergiert die Folge aber nach (a) gegen jedes x ∈ X.
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