Blatt 9 (28. Mai)

Analysis 2
SS 2015
40. Zeigen Sie, dass
∫
9. Übungsblatt
π
ln(sin(x)) dx
0
konvergiert, und bestimmen Sie seinen Wert.
Hinweis: für die Bestimmung des Wertes des Integrals helfen die Verdopplungsformel
für die Sinusfunktion und Symmetrieüberlegungen.
41. Seien u : [0, ∞) → C und v : [0, ∞) → R Regelfunktionen. Die Funktion u habe eine
beschränkte Stammfunktion
∫ ∞ und v konvergiere für x → ∞ monoton fallend gegen 0.
Zeigen Sie, dass dann 0 u(x)v(x) dx konvergiert.
42. Bestimmen Sie das Volumen des durch
{
}
2
y2 z2
3 x
(x, y, z) ∈ R | 2 + 2 + 2 ≤ 1
a
b
c
gegebenen Ellipsoids.
Hinweis: Volumenberechnung für elliptische Schnittfläche.
43. Bestimmen Sie die Bogenlänge der Asteroide
x2/3 + y 2/3 = 1
im ersten Quadranten x, y ≥ 0.
44. Das kartesische Blatt ist eine ebene Kurve 3. Ordnung gegeben durch die Gleichung
x3 + y 3 − 3axy = 0
Sei a > 0. Eine Parameterdarstellung der Schleife dieser Kurve ist
γ:
x=
3at
,
1 + t3
y=
3at2
,
1 + t3
0 ≤ t < ∞.
Zeigen Sie, dass die Fläche dieser Schleife durch 3a2 /2 gegeben ist.
Hinweis: Es ist günstiger, auf Polarkoordinaten zu wechseln. Sie benötigen dazu die
Sektorformel von Leibniz für Polarkoordinaten (Beweis). Für die Flächenberechnung
verwenden Sie nicht die Standardsubstitution u = tan(θ/2). Es geht viel einfacher.

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