Blatt 2

L. Frerick / M. Müller
SoSe 2016
26.04.2016
2. Übung zur Analysis einer und mehrerer Veränderlicher
Abgabe: bis Dienstag, 3.5.16, 12:00 Uhr in Kasten E 11.
Versehen Sie bitte Ihre Lösungen mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer!
H5: (5 Punkte)
Es sei 0 < a < b. Für k ∈ N0 sei fk : [a, b] → R definiert durch fk (x) := xk . Geben
Sie für jedes k ∈ N0 eine Folge (ϕn )n∈N von Treppenfunktionen an, so dass (ϕn )n∈N
gleichmäßig auf [a, b] gegen fk konvergiert. Zeigen Sie, dass
b
f2 (x) dx =
b3 a3
− .
3
3
a
H6: (5 Punkte)
Es seien α ∈ R und fα : [0, 1] → R definiert durch

xα , x ∈ {1/n : n ∈ N}
fα (x) =
.
0,
sonst
Für welche α ist fα ∈ R ([0, 1] , R)?
H7: (10 Punkte)
(a) Es seien a < b, f ∈ C ([a, b] , R) mit f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b]. Ferner gebe es ein
x0 ∈ [a, b] mit f (x0 ) > 0.
(i) Zeigen Sie, dass es ein δ > 0 gibt mit f (x) > 0 für alle x ∈ [a, b] ∩ Uδ (x0 ) .
(ii) Beweisen Sie:
b
a
f (x) dx > 0.
(iii) Gilt die Aussage in (ii) auch, wenn man die Voraussetzung „f ∈ C ([a, b] , R)“ zu
„f ∈ R ([a, b] , R)“ abschwächt?
(b) Es seien a < b, f ∈ C ([a, b] , K). Zeigen Sie: Ist
C ([a, b] , K), so folgt f (x) = 0 für alle x ∈ [a, b].
b
a
f (x) g (x) dx = 0 für alle g ∈

Download Report