qs-STAT - ABW Concept

DM 3 à préparer pour vendredi 28 Novembre.
Exercice 1 (D’après Sujet C page 127 du livre)
1
Le but de cet exercice est de démontrer que l’équation (E ) : e x = admet une
x
unique solution dans l’ensemble ℝ des nombres réels et de construire une suite
qui converge vers cette unique solution.
Exercice 2 (D’après Exercice 168 page 130 du livre)
1° En étudiant les variations de la fonction f définie sur ℝ , par :
f ( x) = e x − x − 1 , montrer que : 1 + x ≤ e x pour tout réel x.
2° En posant X = − x , montrer que pour tout X < 1, on a : e X <
1
.
1− X
3° En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 1,
Partie A : Existence et unicité de la solution.
On note f la fonction définie sur ℝ par : f ( x) = x − e− x .
1° Démontrer que x est solution de l’équation (E ) si et seulement si f ( x ) = 0 .
2° a. Etudier le sens de variation de la fonction f sur ℝ .
b. En déduire que l’équation (E ) possède une unique solution sur ℝ notée α .
1 
c. Démontrer que α appartient à l’intervalle  ;1 .
2 
d. Etudier le signe de f sur [ 0;1] .
Partie B. Deuxième approche.
On note g la fonction définie sur ℝ par : g ( x) =
1+ x
1+ ex
1° Démontrer que l’équation f ( x ) = 0 est équivalente à l’équation g ( x ) = x .
2° En déduire que α est l’unique réel vérifiant g (α ) = α .
3° calculer g '( x ) et en déduire que la fonction g est croissante sur l’intervalle
[ 0;α ] .
Partie C : Construction d’une suite de réels ayant pour limite α.
On considère la suite ( un ) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n,
un+1 = g ( un )
1° Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ α .
2° En déduire que la suite ( un ) est convergente.
3° a. Ecrire un algorithme permettant de déterminer une valeur approchée de u4
b. A l’aide de votre calculatrice, donner une valeur approchée de u4 à 10−6 près.
n
 1
 1
1 +  ≤ e ≤ 1 + 
 n
 n
n+1
(E )


4° Soit la suite ( un ) définie par : un = 1 +
n
1
 pour tout entier naturel n non
n
nul.
Déduire de la question 3° que pour tout entier n non nul : 0 ≤ e − un ≤
3
n
5° Déterminer la limite de la suite ( un ) .
6° Ecrire en langage naturel un algorithme dans lequel on entre un entier p et qui
retourne, le plus petit entier naturel n, tel que l’encadrement (E ) de e ci-dessus
soit d’amplitude inférieure ou égale à 10− p ainsi que les bornes de cet
encadrement.
Donner les résultats affichés par cet algorithme si on choisit p = 2 et p = 3.
Que pensez-vous de la rapidité de convergence des suites qui encadrent le réel
e dans (E) ?

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