Série 1 INTRODUCTION AUX PROBABILITÉS SA 2014 Université de Fribourg Prof. Dr. Jean-Pierre Gabriel à rendre : mardi, 23 septembre 2014, 12h00 Exercice 1 (Combinatoire) (a) Montrer que le nombre de permutations de n objets est n!. (b) On lance n fois une pièce de monnaie. Montrer que le nombre de possibilités d’obtenir k fois pile est donné par : à ! n! n = . k (n − k)!k! (c) Montrer que la formule ci-dessus donne aussi le nombre de possibilités de choisir k objets parmi n objets différents. (d) Sachant que à ! n n X a k b n−k , (a + b) = k=0 k n en déduire que le nombre de sous-ensembles d’un ensemble de taille n est 2n . Trouver un argument direct pour démontrer cette affirmation. Exercice 2 (Coefficients binomiaux) Montrer que à ! à ! à ! n n n +1 + = . k k +1 k +1 Exercice 3 (Combinatoire) (a) Montrer que le nombre de possibilités de ranger r balles indistinguables dans n urnes est à ! n +r −1 . r (b) Montrer que le nombre de possibilités de ranger r balles indistinguables dans n urnes sans qu’aucune urne reste vide est à ! r −1 . n −1 Exercice 4 (Combinatoire) (a) Combien peut-on écrire de nombres de 4 chiffres différents? (b) A partir d’un groupe de 5 hommes et de 7 femmes, combien de comités différents composés de 2 hommes et de 3 femmes peut-on former? Qu’en est-il si 2 hommes s’entendent mal et refusent de siéger simultanément au comité? Exercice 5 (Principe d’inclusion-exclusion) Soient A 1 , ..., A n une collection de sous-ensembles d’un ensemble Ω tel que |Ω| < +∞. Démontrer l’égalité suivante ¯ ¯ ¯[ ¯ X n X ¯ ¯ ¯ n ¯ ¯ Ai ∩ Ai ∩ · · · ∩ Ai ¯ . Ai ¯ = (−1)k−1 ¯ 1 2 k ¯ i =1 ¯ k=1 1Éi <i <...<i Én 1 2 k Indication: Démontrer par récurrence l’égalité suivante: 1 A 1 ∪···∪A n = n X k=1 (−1)k−1 X 1Éi 1 <i 2 <...<i k Én 1 Ai1 · · · 1 Ai , k et montrer qu’elle est équivalente à celle de l’énoncé. http://homeweb.unifr.ch/vinckenb/pub/Proba2014
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