Dm facultatif > - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

1
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015
Devoir maison facultatif
Sous-groupes additifs de R
Soit A et B deux parties de R. On dit que A est dense dans B si tout réel de B est limite d’une suite de
points de A.
On se propose d’établir le théorème suivant et d’en donner quelques applications :
Théorème 1 Les sous-groupes additifs de (R, +) sont de deux types :
• soit ils sont monogènes, c’est-à-dire de la forme aZ avec a un réel strictement positif.
• soit ils sont denses dans R.
1
Théorème principal
1. Questions préliminaires :
(a) Donner un exemple de sous-groupe additif de R qui est dense dans R.
(b) De quel type est le groupe 1 4Z + 6Z ?.
(c) Soit A une partie de R. Démontrer que A est dense dans R si et seulement si A rencontre tout
intervalle ouvert ]a, b[ de R.
(d) Démontrer que pour tout réel a > 0, le sous-groupe aZ n’est pas dense dans R.
2. Soit G un sous-groupe de (R, +) différent de {0}. On pose a = inf(G∩]0, +∞[).
(a) Justifier l’existence de a.
(b) Démontrer que si a > 0 et a ∈ G, alors G = aZ.
(c) Démontrer que si a = 0, alors G est dense dans R.
(d) Démontrer que si a > 0, alors a ∈ G. Conclure.
2
Applications
1. Démontrer que le sous-groupe Z +
√
2Z est dense dans R.
2. En déduire qu’une fonction réelle continue et périodique de période 1 et
√
2 est nécessairement constante.
3. Une deuxième application : les valeurs d’adhérence de la suite (cos n)n∈N .
(a) Démontrer que l’ensemble cos N est dense dans [−1, 1].
(b) Soit I un intervalle ouvert inclus dans [−1, 1] de rayon ε. Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers
n ∈ N tel que cos n ∈ I.
(c) Question facultative : en déduire que tout réel de [−1, 1] est limite d’une suite extraite de (cos n)n∈N .
1. Bonus : décrire plus généralement les sous groupes aZ + bZ et aZ ∩ bZ lorsque a et b sont des entiers. Et aZ ∪ bZ ?
2
©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015
3
Application à l’équation de Pell-Fermat
Nous allons redémontrer un résultat déjà établi en TD sur les équations de Pell-Fermat.
1. Soit G un sous-groupe multiplicatif de (R∗+ , ×). Démontrer que G est :
• soit monogène du type G = {bn | n ∈ Z} avec b > 0
• soit dense dans R∗+
2
2
2. Pour déterminer les solutions
√ entières de l’équation de Pell-Fermat X − 5X = 1, on
√ étudie le groupe
multiplicatif G = {x ∈ Z[ 5] | N (x) = 1} où N désigne la norme définie par N (a + b 5) = a2 − 5b2 si a
et b sont des entiers.
√
(a) Soit x = a + b 5 un élément de G, donner l’expression de son inverse.
√
(b) Soit (xn ) une suite de points de G qui converge vers un réel l. Démontrer que l ∈ Z[ 5] (on pourra
déterminer la limite de xn + x−1
n ).
(c) En déduire qu’il existe un réel x0 > 0 tel que G = {±xn0 |
n ∈ Z}.
√
On montre à l’aide d’un petit algorithme que x0 = 9 + 4 5, c’est l’élément minimal de G ∩ ]1, +∞[.

Download Report