TD1

TD de Mécanique Analytique "SMP S5"
Série n◦ 01
Exercice - 1
Principe de Fermat
Exercice - 2
Plus petite distance dans le plan
Exercice - 3
Principe d'économie naturelle
Quelle est la trajectoire optimale que doit emprunter un maître nageur sur le plage puis dans l'eau
pour aller secourir un baigneur en diculté ? est-elle minimale ou maximale ? On admet que le
sauveteur parcourt des trajectires rectilignes uniformes sur la plage à la vitesse V1 et dans l'eau à
la vitesse V2 .
Quelle est, dans un plan (XOY ), la courbe y(x) qui minimise la distance entre deux points A et
B choisis arbitrairement dans ce même plan ?
On s'interesse à la propagation de la lumière dans une atmosphère xe modélisée par un plan
vertical (ZOX). Comme la densité de cette atmosphère est variable, l'indice de réfraction varie
aussi. On admet que cette variation est linéaire par rapport à la verticale Z , soit :
n(z) = 1 + αz
est une constante strictement positive
1. Montrer que le chemin optique global, notée L, emprunté par la lumière entre deux positions
arbitraires M1 (x1 = 0, z1 = h) et M2 (x2 = a, z2 = h) s'écrit sous la forme :
α
Z
x2
L=
f (z, z)
˙
x1
En déduire le temps T mis par la lumière pour aller du point M1 au point M2 .
Donner alors l'expression de la fonction de Lagrange L(z, z)
˙ si l'on s'interesse a optimiser le temps
T.
2. Etablir l'équation d'Euler et Lagrange associée à ce genre d'étude.
3. En considérant le changement de variable suivant :
u=z+
1
α
Etablir l'équation diérentielle vérier par u
4. Montrer qu'en dérivant cette équation diérentielle par rapport à la variable x, il est possible de
trouver la solution générale u(x) sous la forme :
u(x) = A exp
x
k
+ B exp
où k est une constante
1
−x
k
FP-LARACHE
Mécanique Analytique
2
k
et A + B > 0
5. Montrer que AB =
2
k
−d
k
d
6. En posant : A = exp
et B = exp
où k > 0 et en utilisant
2
k
2
k
a
limites, montrer que : d =
2
7. La fonction z admet-elle un maximum ? si oui quel est sa nature ? Interpréter
2014-2015
les conditions aux
la trajectoire obtenue.
8. Quel sera le phénomène obtenu si l'indice de réfraction diminue avec l'altitude z
Pr. Aziz OUADOUD
2

Download Report