TP01_1_Correction

1èreS - TP01.1: ALGORITHMIQUE - CORRIGE
Somme et produit des racines d'un trinôme - Méthode d'Al-Khuwarizmi
1. Préliminaire: somme et produit des racines d'un trinôme
Considérons le trinôme
ax 2 + bx + c , avec a ≠ 0 .
Lorsque le discriminant
∆ est strictement positif, il admet deux racines distinctes, x1 =
x2 =
−b − ∆
et
2a
−b + ∆
.
2a
1°) Démontrez que
b
c
x1 + x2 = − , et que x1 x2 = .Avec les expressions de x1 et x2 vues en classe et rappelées
a
a
dans l'énoncé, on a
x1 x2 =
x1 + x2 =
−b − ∆ −b + ∆
+
2a
2a
−b − ∆ − b + ∆
=
2a
−2b
=
2a
b
=−
a
=
=
=
−b − ∆ −b + ∆
×
2a
2a
( −b − ∆ )( −b + ∆ )
4a 2
( −b )
2
−
( ∆)
2
4a 2
b 2 − ( b 2 − 4ac )
4a 2
b 2 − b 2 + 4ac
4a 2
4 ac
=
4 aa
c
=
a
=
ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ), en divisant chacun des
b
c
c
 b
2
2
membres par le coefficient dominant a , on obtient x + x + = 0 , ou encore x −  −  x + = 0 , où S note la
a
a
a
 a
On remarquera que dans le cas général d'une équation du type
S
P
somme des racines, et P leur produit.
2
On retiendra la forme x − Sx + P = 0 , où l'on peut "lire directement" la somme et le produit des racines dans une
équation de coefficient dominant 1 (à laquelle on peut toujours se ramener en divisant par a ).
2°) Application.
a) Vérifiez que
x=
1
2
est solution de l'équation 4 x + 4 x − 3 = 0 .
2
2
1
1
4
1
est bien solution de l'équation.
Vérification: 4 ×   + 4 × − 3 = + 2 − 3 = 1 + 2 − 3 = 0 , donc
2
2
4
2
Calculez l'autre racine grâce aux relations démontrées dans la question précédente, sans calculer ∆ .
x la seconde racine de cette équation; d'après ce qui précède, on a:
4
1
3
1
1


 2 + x = − 4
 2 + x = −1  x = −1 − 2
 x = − 2
⇔
⇔
⇔

 1 × x = −3
 x = −3
 x = 2 × −3
 x = −3
 2
4
 2 4

4

2
3
La seconde solution est donc x = − .
2
2
b) Sans aucun calcul, trouvez les solutions de l'équation x + 5 x − 6 = 0
Soit
Ici, le coefficient "a" du trinôme est égal à 1, on peut donc dire que le trinôme
x 2 + bx + c = 0 peut être vu sous la
2
forme x − Sx + P = 0 .
On peut donc "lire" la somme et le produit des racines directement "sur le trinôme".
2
Dans le cas de x +5 x −6 = 0 , on cherche donc des racines dont la somme est -5 et le produit -6.
−S
P
On peut alors éventuellement "deviner" que les racines sont 1 et -6.
Plus rigoureusement (mais avec des calculs...), on trouvera les racines en résolvant le système de deux équations
 x1 + x2 = −5
.
 x1 × x2 = −6
à deux inconnues: 
2. La méthode d'Al-Khuwarizmi
2
Pour déterminer la solution positive de l'équation: x + 12 x = 108 , voici comment procédait Al-Khuwarizmi,
mathématicien arabe du IX° siècle:
Diviser 12 par 2
Elever ce quotient au carré
Ajouter ce carré à 108
Prendre la racine carrée de cette somme
Retrancher à cette racine carrée le quotient du début
1.a) Vérifiez que l'équation
donne la solution positive.
x 2 + 12 x = 108 admet deux solutions de signes contraires, et que l'algorithme proposé
x 2 + 12 x = 108 ⇔ x 2 + 12 x − 108 = 0 ;
2
2
Dans cette dernière équation, ∆ = b − 4ac = 12 − 4 ×1× ( −108) = 576 >0, donc ce polynôme admet deux
racines distinctes (l'équation admet deux solutions distinctes).
De plus, en pensant à la forme x 2 − Sx + P = 0 pour l'équation x 2 + 12 x − 108 = 0 ,
on a P = x1 x2 = −108 < 0 , donc ces racines sont de signes contraires.
Suivons à présent la méthode d'Al-Khuwarizmi:
12 ÷ 2 = 6 ;
2
on élève au carré: 6 = 36 ;
on ajoute à 108: 36 + 108 = 144 ;
on prend la racine carrée de cette somme: 144 = 12 ;
On retranche à cette racine carré le quotient du début: 12 − 6 = 6 .
Vérification:
576 = 24 .
Donc on a bien deux solutions,
x1 =
−12 − 24 −36
−12 + 24 12
=
= −18 , et x2 =
= = 6.
2
2
2
2
1.b) Utilisez la même méthode pour déterminer la solution positive de l'équation
Avec la même méthode pour l'équation
16 ÷ 2 = 8 ;
x 2 + 16 x = 80 .
x 2 + 16 x = 80 , il vient:
2
on élève au carré: 8 = 64 ;
on ajoute à 80: 64 + 80 = 144 ;
on prend la racine carrée de cette somme: 144 = 12 ;
On retranche à cette racine carré le quotient du début: 12 − 8 = 4 .
2
Or pour l'équation équivalente x + 16 x − 80 = 0 , on a ∆ = 576 (c'est par hasard que l'on retrouve le même
discriminant qu'à l'exemple précédent), et les deux racines 4 et -20.
L'algorithme donne donc bien la solution positive de l'équation.
2
2.a) Prouvez que toute équation du type x + bx = c , où c > 0 , admet deux racines de signes contraires.
Pour cela, étudiez le signe du produit des racines en utilisant les relations démontrées dans la question 1).
x 2 + bx = c , avec c > 0 . On a :
x 2 + bx = c ⇔ x 2 + bx − c = 0, donc ∆ = b 2 − 4 ×1× (−c) = b2 + 4c ; donc si c > 0 , alors ∆ > 0 , et l'équation
Soit une équation du type
admet deux racines distinctes.
2
De plus, en écrivant l'équation sous la forme x + bx − c = 0 et en pensant à
racines est −c < 0 , donc ces deux racines sont de signes contraires.
x 2 − Sx + P = 0 , le produit de ces
3. Ecriture de l'algorithme
2
b
b
L'algorithme calcule la racine positive (que nous noterons x1) ainsi: x1 =   + c − .
2
2
2
On a en effet, dans un trinôme du second degré pour lequel ∆ > 0 et a = 1 , i.e. du type x + bx − c = 0
(attention, ici le coefficient constant est – c):
2
−b + b2 + 4c
b
b 2 + 4c
b
b 2 + 4c
b2
b
b
b
x1 =
=− +
=− +
=
+c − =   +c −
2
2
2
2
4
4
2
2
2
VARIABLES
b EST_DU_TYPE_NOMBRE
c EST_DU_TYPE_NOMBRE
x1 EST_DU_TYPE_NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE b
LIRE c
2
x1 PREND_LA_VALEUR
b
b
  +c −
2
2
AFFICHER x1
FIN_ALGORITHME
4. Lancement du logiciel Algobox
5. Utilisation du logiciel Algobox
Algorithme sous Algobox.
Saisissez l'algorithme de la question 3 dans le logiciel Algobox.
La ligne que nous avons complétée s'écrite avec la syntaxe suivante:
x1 PREND_LA_VALEUR sqrt(pow((b/2),2)+c)-(b/2)
Test de l'algorithme.
Nous allons tester l'algorithme sur l'équation
Résultat donné par l'algorithme: 6
Testez cet algorithme sur l'équation
Résultat obtenu: 4
x 2 + 12 x = 108 .
x 2 + 16 x = 80 .
Ces résultats confirment-ils vos calculs précédents? Oui.

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