Analyse I – Série 14

EPFL
Section G´enie Civil
17 d´ecembre 2014
Analyse I – S´erie 14
Exercice 1. (Primitives)
Calculer
Z x
a)
ey cos y dy
b)
Z
x
arcsin y dy
Exercice 2.
x
1
1
cos x sin x + x + C
2
2
de deux mani`eres diff´erentes :
Montrer que
Z
cos2 t dt =
a) en remarquant que cos2 t = cos t(sin t)′ et en int´egrant par parties,
b) en utilisant la formule trigonom´etrique cos2 t = 12 {1 + cos(2t)}.
Exercice 3.
a) Soit In (x) =
Z
x
cosn t dt pour n ∈ N. Montrer que, pour n ≥ 2,
In (x) =
n−1
1 n−1
cos x sinx +
In−2 (x).
n
n
⋆ b) Pour m, n ∈ Z, montrer que, sur l’intervalle ]0, 1[ ou sur l’intervalle ]1, ∞[,
 m+1
Z x
n
x

n

(ln x) −
tm (ln t)n−1 dt si m 6= −1



m
+
1
m
+
1

Z x

m
n
t (ln t) dt =
1
(ln x)n+1 + Cm,n si m = −1 et n 6= −1

n+1






ln | ln x| + Cm,n si m = n = −1
o`
u Cm,n ne d´
pas de x.
R expend
3
t (ln t)2 dt.
En d´eduire
Exercice 4. (Somme de Riemann)
Z 1
1
1
1
+ ... +
=
dx .
Montrer que lim
n→∞
n+1
n+n
0 1+x
Exercice 5. (Int´egrales)
Calculer les int´egrales suivantes :
a)
Z
sinh(1)
0
√
x2
+ 1 dx
b)
Z
cosh(1)
1
1
√
x2 − 1 dx
Exercice 6. (Primitives)
Calculer
Z x
a)
Z x
b)
Z x
⋆ c)
Z x
d)
3t − 5
dt
− t2 − t + 1
sin t
dt.
cos t(1 + cos2 t)
2t2 + 3
dt.
(t2 + 1)2
1 − sin y
dy sur ]0, π[ ou sur ] − π, 0[.
(1 − cos y) sin y
Indication :
cos y =
t3
1 − tan2 (y/2)
2 tan(y/2)
et sin y =
si y 6∈ {(2k + 1)π : k ∈ Z}.
2
1 + tan (y/2)
1 + tan2 (y/2)
Exercice 7. (Int´egrales g´en´eralis´ees)
Etudier la convergence des int´egrales suivantes. En cas de convergence, calculer l’int´egrale.
Z π
Z π
Z 1
sin x
sin x
a)
ln(x) dx
dx
⋆ b)
dx
c)
1/3
π/4 cos x
π/4√(cos x)
0
Z 5
Z ∞ − x
Z 1
1
e
1
√ dx
√ √
d)
dx
e)
⋆ f)
dx
3
x
x( x + 1)
1 5−x
0
0
Exercice 8.
Sans les calculer, ´etudier la convergence des int´egrales suivantes (utiliser le crit`ere de comparaison).
Z 1
Z 1 x
e
1
√
√ dx
dx
a)
b)
2
x
x
1
+
x
0
0
Z ∞ a−1
x
c)
dx o`
u a∈R
1+x
0
Questions VF.
Voir le fascicule de r´ef´erence “Analyse I pour Ing´enieurs et Scientifiques - Vrai/Faux 2014-2015”
par Joachim STUBBE, mis `a disposition sur le site WEB du cours.
⋆ A r´esoudre individuellement et en dehors du tutorat.
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