Lycée Louis-Le-Grand, Paris MPSI 4 – Mathématiques A. Troesch Pour le 20/05/2014 DM no 16 : Séries Exercice 1 – (Exercice technique) Soit pour tout n > 0, un = ln 1 + ln2n . n3 P 1. Déterminer la nature de un xn , pour tout x ∈ R. Que dire de x ∈ C ? P 2. Déterminer la nature de (−1)n cos n1α un , suivant la valeur du paramètre α ∈ R∗+ Indication : former un développement asymptotique à un ordre suffisamment élevé pour assurer la convergence. P √ 3. Déterminer la nature de cos ( 3 n) un . √ Indication : regrouper les termes en tranches sur lesquels cos( 3 n) reste supérieur à 12 . Exercice 2 – (Règle de Raabe-Duhamel pour la convergence des séries) 1. Critère de comparaison logarithmique P P an+1 bn+1 Soit an et bn deux séries à termes strictement positifs telles que : ∃N ∈ N, ∀n > N, 6 . an P P P Pbn Montrer que si bn converge, alors an , et que si an diverge (resp. diverge grossièrement), alors bn aussi. 2. Montrer que la règle de d’Alembert est conséquence du critère de comparaison logarithmique. 3. Règle de Raabe-Duhamel P Soit un une série à termes strictement positifs, telle qu’il existe β tel que : un+1 β 1 . =1− +o un n n P P P (a) En comparant un à une série de Riemann, montrer que si β > 1, alors un converge, et si β < 1, un diverge. (b) Donner des exemples illustrant le fait que β = 1 est un cas d’indétermination. X 2n xn , pour toute valeur de x réelle. 4. (a) Sans utiliser la formule de Stirling, étudier la nature de n X 1 2n (b) Même question pour xn . n n X 1 X 5. En comparant à une série , pour a ∈ R, déterminer la nature de un , si (un ) est positive et vérifie : n+a un+1 1 1 =1− +O . un n n2 6. Déterminer, toujours sans la formule de Stirling, la nature de 7. Que pouvez-vous dire, selon les valeurs de α, de P vn lorsque X (3n)! xn , pour tout x ∈ R. 1 α 1 ? =1− − +o n n ln(n) n ln n (n!)3 vn+1 vn Problème – Équivalents et développements asymptotiques de séries liées aux diviseurs X X d, la somme des diviseurs de n. Ces 1, le nombre de diviseurs de n, et τn = Pour tout n ∈ N∗ , on note σn = d|n d|n deux sommes indexées par d|n sont les sommes prises sur tous les entiers d ∈ N∗ divisant n. P P Le but de ce problème est d’étudier le comportement à l’infini des sommes partielles des séries σn et τn . +∞ X 1 π2 On admet que = . n2 6 n=1 Question préliminaire P P Soit an et bn deux séries convergentes à termes positifs, et soit (rn )n∈N et (sn )n∈N les suites de leurs restes : ∀n ∈ N, rn = +∞ X an et sn = k=n+1 +∞ X k=n+1 1 bn . On suppose de plus que an ∼ bn . Montrer que rn ∼ sn . +∞ +∞ Partie I – Comportement à l’infini des sommes partielles et restes des séries de Riemann +∞ X 1. En faisant une comparaison à une intégrale, donner un équivalent simple de k=n+1 1 en +∞ pour tout α > 1. kα n X 1 ∗ , un = Hn − ln n, et vn = un+1 − un . 2. Soit, pour tout n ∈ N , Hn = k k=1 Après avoir justifié la convergence, montrer que : +∞ X vk ∼ +∞ k=n −1 . 2n 1 1 3. En déduire que : Hn = ln n + γ + . +o 2n n 4. Déterminer un développement de Hn à l’ordre 2 et indiquez plus généralement une méthode pour obtenir de proche en proche les DL à tous ordres (question inutile pour la suite). PARTIE II – Comportement à l’infini des sommes partielles de On note, pour tout n ∈ N∗ , Sn = n X σk et Tn = k=1 n X P σn τk k=1 P P 1. Déterminer, suivant les valeurs de x ∈ R, la nature des séries σn xn et τn xn . ∗ 2 ∗ 2. Justifier que pour tout n ∈ N , Sn = Card (d, q) ∈ (N ) | dq 6 n . 3. En considérant les ensembles √ √ An = (d, q) ∈ (N∗ )2 | d 6 n et q 6 n n √ no Bn = (d, q) ∈ (N∗ )2 | d 6 n et q 6 d √ n ∗ 2 Cn = (d, q) ∈ (N ) | q 6 n et d 6 q montrer que pour tout n ∈ N∗ , Sn = 2 √ ⌊ n⌋ j X d=1 √ nk − ( n )2 . d 4. En déduire que pour tout n ∈ N∗ , Gn 6 Sn 6 Dn , où : √ Gn = 2 n⌋ ⌊X n d=1 d √ et − 1 − n, Dn = 2n n⌋ ⌊X 1 d=1 d √ − ( n − 1)2 . √ 5. En déduire que Sn = n ln n + (2γ − 1)n + O( n). Donner un équivalent simple de Sn . X 1 suivant la valeur de α ∈ R. 6. Étudier la convergence de Snα PARTIE III – Comportement à l’infini des sommes partielles de ∗ 1. Montrer que pour tout n ∈ N , Tn = 2. En déduire que Tn = n X 1 n n q=1 2 q q P τn +1 . (πn)2 + O(n ln n). 12 3. Déterminer suivant la valeur des paramètres x ∈ R et α ∈ R∗+ , la nature de la série X xn converge. Tnα Ainsi, nous avons démontré au cours de ce problème que le nombre moyen de diviseurs des entiers de 1 à n est π2 n. équivalent à ln(n), alors que la somme moyenne des diviseurs est équivalente à 12 2