PC le 18 janvier 2014 DEVOIR SURVEILLÉ 4 4 heures

PC
le 18 janvier 2014
DEVOIR SURVEILLÉ 4
4 heures
PROBLÈME
Dans la première partie, on calcule indépendemment deux intégrales particulières (les questions 1 et 2
pour l’une, la question 3 pour l’autre) qui interviennent dans les parties II et III. Les parties II et III sont
indépendantes.
Première partie : calculs préliminaires
Z
1. a) Justifier l’existence de l’intégrale K =
0
+∞
1 − cos t
dt.
t2
Z
A
b) Pour tout A > 0, justifier l’existence de l’intégrale D(A) =
0
c) Grâce à une intégration par parties, prouver que D(A)
−→
A −→ +∞
sin t
dt.
t
K.
+∞
1 − cos t −xt
e
dt est définie et continue sur R+ .
t2
0
2
b) Montrer que l’application L est de classe C sur l’intervalle R∗+ .
1 − cos t
1 − cos t
et t 7→
sont bornées sur R∗+ . En déduire une
c) Démontrer que les fonctions t 7→
2
t
t
majoration simple de |L(x)| et de |L0 (x)| en fonction de x, puis étudier les limites des fonctions L et L0
en +∞.
d) Pour tout réel x > 0, exprimer L00 (x) sans utiliser d’intégrale.
e) En déduire l’expression de L0 (x) (pour x > 0), puis de L(x) (pour x > 0). Déterminer la valeur de K.
Z
2. a) Justifier que l’application L : x 7→
ln u
est intégrable sur l’intervalle ]0, 1[.
u−1
Z 1
b) Pour tout entier k > 0, justifier l’existence de l’intégrale
uk ln u du et la calculer.
3. a) Justifier que la fonction u 7→
0
c) Justifier, en précisant le théorème utilisé, que
Z
0
1
∞
X
ln u
1
du =
.
u−1
(k + 1)2
k=0
On admettra que la somme de cette série est égale à
π2
6 .
Deuxième partie : étude de quelques suites d’intégrales
1. Rappeler avec précision le théorème de convergence dominée.
Z
2. a) Soit f : [0, 1] −→ R une application continue. Pour tout entier n ∈ N, on pose In =
0
1
f (tn ) dt.
Déterminer la limite de In lorsque n tend vers l’infini.
f (u)
est intégrable sur ]0, 1]. Déterminer la limite de nIn
b) On suppose ici de plus que la fonction u 7→
u
lorsque n tend vers l’infini. On pourra transformer l’intégrale nIn grâce à un changement de variable.
Z 1
c) Première application
Déterminer un équivalent, lorsque n tend vers l’infini, de
sin(tn ) dt (l’équivalent fera apparaître une
0
intégrale).
1
3. On considère maintenant une application f : R+ −→ R continue et intégrable.
a) Soit n > 1 un entier. Grâce à un changement de variable approprié, justifier l’existence de l’intégrale
Z +∞
An =
f (tn ) dt.
1
b) Déterminer, en fonction d’une intégrale que l’on ne cherchera pas à calculer, la limite de nAn lorsque n
tend vers l’infini.
4. a) Pour tout entier n > 2 et tout réel A > 1, on pose
Z A
Cn (A) =
sin(tn ) dt.
1
Exprimer Cn (A) en fonction de l’intégrale
Z
An
1 − cos u 1
u n du.
u2
1
+∞
Z
sin(tn ) dt pour tout entier n > 2.
b) En déduire l’existence de l’intégrale
1
Z
c) Deuxième application
En utilisant la constante K, déterminer la limite de n
+∞
sin(tn ) dt lorsque n tend vers l’infini.
0
Troisième partie : étude de séries de fonctions
1. Un premier exemple
∞
X
a) Pour tout x ∈ ]−1, 1[, calculer F1 (x) =
xn , ainsi que F10 (x).
n=1
b) Déterminer les limites en 1 de F1 (x),
− x)F1 (x), (1 − x)F10 (x) et (1 − x)2 F10 (x).
P(1
∞ xn
c) Calculer, pour x ∈ ]0, 1[, la somme n=1 n .
2. Un deuxième exemple
∞
X
Dans cette question, on pose F2 (x) =
xn
.
1 − xn
n=1
a) Démontrer que la fonction F2 est définie et continue sur l’intervalle ]−1, 1[.
b) Déterminer la limite de la fonction F2 en 1.
n
c) Montrer que, pour tout x ∈ ]0, 1[ et tout n > 1, on a 1−x
1−x 6 n. En déduire la limite en 1 de
(1 − x)F2 (x).
3. Dans cette question, f : [0, 1[ −→ R est application continue et croissante, vérifiant f (0) = 0, et telle que
f (u)
la fonction u 7→
soit intégrable sur ]0, 1[. Soit x ∈ ]0, 1[ un réel.
u
Z +∞
Z 1
f (u)
1
t
a) Justifier l’existence de G(x) =
du.
f (x ) dt et l’égalité G(x) = −
ln x 0 u
0
b) Justifier, pour tout entier n > 1, l’encadrement
Z n+1
Z n
f (xt ) dt 6 f (xn ) 6
f (xt ) dt.
n
c) En déduire l’existence de F3 (x) =
n−1
∞
X
f (xn ), ainsi qu’un encadrement de F (x) par deux intégrales.
n=1
Z
d) Conclure avec soin que (1 − x)F3 (x) −→
x→1
0
1
f (u)
du.
u
4. Un dernier exemple X
∞
On pose enfin F4 (x) = −
ln(1 − xn ).
n=1
a) Démontrer que la fonction F4 est définie sur l’intervalle ]−1, 1[, qu’elle est de classe C 1 , et exprimer F40 (x) sous forme d’une série.
Z 1
ln u
b) Démontrer que (1 − x)F4 (x) −→
du.
x→1 0 u − 1
c) Montrer que
Z 1
∞
X
nxn
ln u
2
(1 − x)
−→
du.
n
x
→
1
1−x
0 u−1
n=1
En déduire la limite de (1 − x)2 F40 (x) lorsque x tend vers 1.
2

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