TD : Etude de courbes

IUT GMP F411
Année 2013/2014
TD : Etude de courbes
Courbes en coordonnées paramétriques
Exercice 1. Etudier et dessiner les courbes d’équations suivantes :
1. Astroïde :
x = a cos3 (t)
y = a sin3 (t)
2. Cycloïde :
x = R(t − sin(t))
y = R(1 − cos(t))
x = 3t − t3
y = 3t2

x = 2
cos(t)
4.

y = 3 tan(t)
où a > 0.
3.
où R > 0.
Exercice 2. Etudier les branches infinies de la courbe d’équation :

t2 + t − 2


x
=


t(t − 2)


t2 + t − 2

y =
t−2
Exercice 3. Etudier l’allure de la courbe au voisinage de t = 0 :
x = 3t2 − 2t3
y = 5t4 − 4t5
Exercice 4. Etudier et dessiner la courbe d’équation :

2

2

x = t +
t

1

y = t2 +
t2
On étudiera en particulier la nature du point de paramètre t = 1.
Courbes en coordonnées polaires
Exercice 5. Etudier et construire les courbes d’équations suivantes :
1. Cardioïde : r = a(1 + cos(θ))
2. r = sin(2θ)
Exercice 6. Etudier et construire la courbe d’équation : r =
cartésienne est : x2 − y 2 − x = 0.
3. r =
cos2 (θ)
sin(θ)
cos(θ)
. Vérifier que son équation
cos(2θ)
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TD : Etude de courbes
Longueur d’un arc de courbe / Rayon de courbure
Exercice 7. Calculer la longueur d’une arche de cycloïde.
→
−
→
−
Exercice 8. Calculer la longueur de la cardioïde. Déterminer T , R et N pour θ ∈]0, π[.
1
Exercice 9. On considère la courbe d’équation y = x2 , que l’on paramètre de la façon suivante :
2
x = 2t
y = 2t2
−
→
−
ds →
, T , R et N .
dt
2. Soit C(t) = (X(t), Y (t)) son centre de courbure. Déterminer X et Y , puis étudier et dessiner
la courbe représentant C.
1. Calculer
Exercice 10. Calculer la longueur de l’astroïde. Cette courbe est-elle formée d’arcs de cercles ?
→
−
Donner le vecteur unitaire tangent T (t) et le rayon de courbure pour t ∈]0, π2 [.
Exercice 11. On considère la courbe C donnée par :

x = t + 1
t
y = 2 ln(t)
1. Étudier et tracer C.
2. On suppose la courbe orientée dans le sens des t croissants avec M (1) pour origine, et on définit
l’abscisse curviligne s sur la courbe. Montrer que pour t > 0 :
ds
t2 + 1
=
.
dt
t2
Que vaut s(2) ?
→
−
→
−
3. Déterminer T (t), R(t) et N (t).
−−→
→
−
4. Déterminer les coordonnées du point C(t) tel que M C = R N . Que représente ce point ? En
rapport avec la courbe C, comment appelle-t-on la courbe décrite par le point C(t) ?
Exercice 12. Soient m > 0 et θ0 > 0. Calculer la longueur de l’arc de courbe de la spirale logarithmique d’équation : r = emθ , pour θ ∈ [0, θ0 ], puis déterminer son rayon de courbure.
Exercice 13. On considère la courbe d’équation suivante, définie pour t ∈ [0, π] :
x = (1 − t) cos(t) + (1 + t) sin(t)
y = −(1 + t) cos(t) + (1 − t) sin(t)
1. Calculer la longueur de cette courbe.
−
→
−
ds →
2. Calculer
, T , R et N pour t ∈]0, π].
dt

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