[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1er septembre 2014 Enoncés 1 Réduction des endomorphismes orthogonaux Exercice 1 [ 02403 ] [correction] a) Trouver les matrices de On (R) diagonalisables sur R. b) Montrer qu’une matrice de On (R) est diagonalisable sur C. Exercice 2 [ 02562 ] [correction] Soit Ω ∈ Mn (R) une matrice orthogonale. Soit λ une valeur propre complexe de Ω et X ∈ Mn,1 (C) vérifiant ΩX = λX En calculant de deux façons t ¯X ¯ ΩX Ω établir que λ est de module 1. Exercice 3 [ 03343 ] [correction] Soit A ∈ On (R). a) Montrer que si λ est une valeur propre complexe de A alors |λ| = 1. b) Soit λ une valeur propre complexe non réelle de A et Z ∈ Mn,1 (C) un vecteur propre associé. On pose X = Re(Z) et Y = Im(Z). Montrer que Vect(X, Y ) est stable par A. c) Montrer que les colonnes X et Y ont alors même norme et sont orthogonales. Quelle est la nature de l’endomorphisme induit par la matrice A sur l’espace Vect(X, Y ) ? Exercice 4 [ 03487 ] [correction] Déterminer les applications u ∈ O(E) vérifiant (u − Id)2 = ˜0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1er septembre 2014 Corrections Corrections Exercice 1 : [énoncé] a) Les valeurs propres d’une matrice U de On (R) diagonalisable ne pouvant être que 1 et −1, celle-ci vérifie U 2 = In . Les matrices de On (R) diagonalisables sur R sont les matrices des symétries orthogonales. b) Soit U ∈ On (R). La matrice U est semblable sur R à une matrice diagonale par blocs de blocs diagonaux cos θ − sin θ (1) , (−1) ou sin θ cos θ Or cette dernière est diagonalisable sur C semblable à iθ e 0 0 e−iθ En raisonnant par blocs, on peut affirmer que U est diagonalisable sur C. Exercice 2 : [énoncé] D’une part ¯X ¯ ΩX = t X ¯ t ΩΩX = t XX ¯ Ω t 2 Il est alors immédiat que Vect(X, Y ) est stable par A. c) On a t ZZ = t XX − t Y Y + 2it XY Or t ZAZ = eiθ t ZZ et t ZAZ = t (t AZ) Z = t A−1 Z Z = e−iθ t ZZ. On en déduit t ZZ = e2iθ t ZZ Or e2iθ 6= 1 (car λ non réelle) donc t ZZ = 0 puis t XX = t Y Y et t XY = 0 Quitte à multiplier les colonnes X et Y par un même scalaire unitaire, on peut affirmer que la famille (X, Y ) est une base orthonormée du plan Vect(X, Y ). En orientant ce plan par cette base, l’endomorphisme induit apparaît comme étant une rotation d’angle θ. Exercice 4 : [énoncé] Il existe une base orthonormale de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs de blocs diagonaux cos θ − sin θ (1) , (−1) ou sin θ cos θ et d’autre part t 2 ¯ ¯ X)λX ¯X ¯ ΩX = t (λ ¯ Ω = |λ| t XX ¯ est un réel non nul, on en déduit |λ| = 1. Puisque t XX Pour que (u − Id)2 = 0, il faut et il suffit qu’il n’y ait que des blocs (1) ce qui correspond au cas où u = Id. Exercice 3 : [énoncé] a) Soit λ une valeur propre complexe de A et Z un vecteur propre associé. ¯ Z¯ donc On a AZ = λZ et AZ¯ = λ t 2 ¯ ¯ (A¯Z)AZ = |λ| t ZZ On a aussi t 2 ¯ ¯ ¯ (A¯Z)AZ = t Z¯ t AAZ = t ZZ 2 ¯ = kZk ∈ R+? , on obtient |λ| = 1. Puisque t ZZ b) Ecrivons λ = eiθ . L’identité AZ = λZ donne ( AX = cos θX − sin θY AY = sin θX + cos θY Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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