Übungen zu Mathematik II für Montag, 2. Mai 2016 33) Berechnen Sie die Torsion der Kurve x(t) = (1 − cos t, t, t − sin t), t ∈ R. 2 , 1+t , t), t > 0, in einer Ebene 34) Zeigen Sie, dass die Kurve x(t) = ( 1+t t t liegt, indem Sie nachweisen, dass für ihre Torsion τ = 0 gilt. 35) Gegeben sei die Abbildung f : R2 −→ R2 mit 1 y u(x, y) x , x= = 2 6= o. f (x) = 2 x v(x, y) y x +y Bestimmen Sie die Funktionalmatrix von f und untersuchen Sie mithilfe der Funktionaldeterminante, wo f lokal umkehrbar ist. 36) Gegeben sei die vektorwertige Funktion f : R3 −→ R2 mit 2 x xz + 3y y . f (x) = , x= xy − z 2 z Bestimmen Sie die berührende Affinität von f im Punkt P = (2, 1, 0). 37) Bestimmen Sie alle Punkte x0 ∈ R2 , in denen die Abbildung f (x) = f (x, y) = (cos x cosh y, − sin x sinh y) konform ist. 38) Ermitteln Sie das Flächenverzerrungsverhältnis der Abbildung f (x) = f (x, y) = (ex cos y, ex sin y) im Punkt x0 = (1, − π4 ). 39) Berechnen Sie (a) divf und (b) rotf für die vektorwertige Funktion f (x) = f (x, y, z) = (z + y 2 , x + z 2 , y + x2 ). 40) Zeigen Sie, dass die skalare Funktion f (x, y, z) = (x2 + y)ez die Identität rot(grad f ) = o erfüllt.
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