INSTITUT FÜR MATHEMATIK DER UNIVERSITÄT WÜRZBURG M. Dobrowolski Würzburg, den 27.6.2016 10 . Übung zur ”Funktionentheorie” Dieses Übungsblatt gibt die Struktur meiner Klausur gut wieder: Es gibt mindestens zwei reelle oder komplexe Integrale, mindestens ein zusätzliches Residuum zu berechnen, mindestens eine Aufgabe zum Riemannschen Abbildungssatz. 26 Punkte können erreicht werden, die Klausur wäre mit 13 Punkten bestanden. 10.1 (4) Man bestimme Z K1 (0) dz . 1 − cos z 10.2 (4) Bestimmen Sie den Wert der reellen Integrale, Z 2π Z 2π − sin t I1 = e cos(t + cos t) dt, I2 = e− sin t sin(t + cos t) dt. 0 0 Hinweis: Zur Berechnung von I1 +iI2 integrieren Sie eine geeignet gewählte Funktion längs der Einheitskreislinie. 10.3 (2+4+4) Beweisen Sie oder widerlegen Sie (durch Beweis oder Gegenbeispiel) die folgenden Aussagen: C a) Die nichtkonstante holomorphe Funktion f : \ {0} → Singularität im Punkt z = 0. Dann ist f surjektiv. C besitze eine isolierte b) Die holomorphe Funktion f sei auf |z| > 0 definiert. Dann gilt Resz=0 f ′ (z) = 0. c) Es gibt ein r > 0, so dass für alle |z0 | < r die Iteration zn+1 = e zn − 1 , 1 + cos zn n ≥ 0, gegen Null konvergiert, also zn → 0. 10.4 (4) Seien f, g ganze Funktionen mit |f (z)| ≤ |g(z)| für alle z ∈ es ein λ ∈ mit f = λg. C C. Dann gibt 10.5 (4) Sei Kα = {z ∈ C : |z| < 1, 0 < arg z < α}, 0 < α ≤ 2π, der Einheitskegel mit Öffnung α. Man konstruiere eine biholomorphe Abbildung zwischen Kα und Kβ für 0 < α, β < 2π.