für 11.07.2016, keine Abgabe

Fachbereich
Mathematik
Prof. Dr. Birgit Richter,
PD Dr. Ralf Holtkamp
Übungsaufgaben Mathematik IV für Studierende der Physik:
Blatt 12 für die Übungen am 11.07.2016.
Keine Abgabe!
Aufgabe 1: (0+0+0 Punkte)
Wir betrachten eine Sphärenkappe B im R3 vom Radius R > 0 und einer Öffnung (unten)
vom Durchmesser 0 < D < 2R. Sie ist definiert als Bild der Abbildung γ:


R cos v cos u
h πi
−→ R3 , γ(u, v) =  R cos v sin u 
γ : [−π, π] × a,
2
R sin v
D
wobei a ∈ 0, π2 mit cos(a) =
.
2R
R
(a) Berechnen Sie den Fluss B hv, νidS des Vektorfelds v(x, y, z) = (0, 0, 2)t durch die
Sphärenkappe durch direkte Integration.
(b) Berechnen Sie den Rücktransport der 1-Form ω = −ydx + xdy entlang der folgenden
Parametrisierung der Randlinie der Sphärenkappe:


s
2
D 
D
D
Φ : [0, 2π] −→ ∂B, Φ(ϕ) =  cos ϕ, sin ϕ, R2 −
2
2
2
(c) Zeigen Sie, dass das Vektorfeld und dω über das vektorielle Flächenelement zusam~ Berechnen Sie damit den Fluss des Vektorfelds v
menhängen wie folgt: dω = hv, dSi.
durch die Sphärenkappe nochmals unter Verwendung des Satzes von Stokes.
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