Blatt 7 - Fachbereich Mathematik

Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Apl. Prof. Dr. W. Rump,
Dr. E. Navayazdani, K. Heil
Mathematik II für Informatiker
und Softwaretechniker
SS 2016
Gruppenübung 7
Aufgabe 1 [ Taylorpolynom ]
Bestimmen Sie das quadratische Taylorpolynom T2 für die Funktion
f (x, y) = sin(xy) + 2yex
an der Stelle (0, π).
Aufgabe 2 [ Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung ]
Bestimmen Sie den Punkt p des Rotationsparaboloids
z = x2 + y 2 − 1, x, y ∈ R,
der den kürzesten Abstand von der Ebene durch die drei Punkte
a = (1, 1, −8), b = (3, 3, 0), c = (0, 6, 0)
hat. Wie gross ist dieser Abstand?
Aufgabe 3 [ Integration ]
2
2
Es bezeichne
√ B den Bereich in R , der sich zwischen den Graphen der Funktionen y = x
und y = x befindet. Skizzieren Sie B und berechnen Sie
Z
x2 y dxdy.
B
Aufgabe 4 [ Transformationsformel und Flächeninhalt eines Sektors ]
Ein in Polarkoordinaten (r, ϕ) durch
ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 , 0 ≤ r ≤ r(ϕ)
bestimmter Bereich S des R2 wird als Sektor bezeichnet.
a) Es bezeichne F den Flächeninhalt von S. Zeigen Sie mittels Transformationsformel
Z
1 ϕ2 2
F =
r (ϕ) dϕ.
2 ϕ1
b) Skizzieren Sie den Sektor
S : 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ ϕ
1
Termin: Besprechung der Votieraufgaben sowie Abgabe der
schriftlichen Aufgaben: 30/31.05.2016
(Hinweis: Der Rand von S besteht aus einer Strecke und der Kurve r = ϕ, eine sogenannte
archimedische Spirale.) und berechnen Sie den Flächeninhalt von S.
Aufgabe 5 [ schriftlich, 5+5 Punkte ]
Gegeben sei die Funktion
f (x, y) = y 2 − cos(y 2 − x).
a) Bestimmen Sie das quadratische Taylorpolynom T2 für f an der Stelle (0, 0).
b) Bestimmen Sie alle Extremstellen der Funktion f im Rechteck
√
|x| ≤ 2π, |y| ≤ 2π.
Geben Sie zu jeder Extremstelle den zugehörigen Funktionswert und den Typ des Extremums (Maximum oder Minimum) an. Welche sind global (absolut)?
Aufgabe 6 [ schriftlich, 2+1+1 Bonuspunkte, Darstellungen einer Fläche ]
Ein Torus ist eine Fläche, die erzeugt wird, indem man einen Kreis vom Radius r um
eine Gerade rotiert, die in der Ebene des Kreises liegt und einen Abstand a > r vom
Mittelpunkt des Kreises hat.
a) Zeigen Sie, dass das Bild der folgenden Abbildung ein Torus T ist.
F (u, v) := ((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sin v, r sin u)t , 0 ≤ u, v < 2π.
Hinweis: Sie können die folgende Drehmatrix (Drehung um den Winkel v um die z-Achse)


cos v − sin v 0
 sin v cos v 0
0
0
1
und einen geeigneten Kreis in der xz-Ebene verwenden.
b) Bestimmen Sie eine Funktion, deren Graph die obere Hälfte des obigen Torus ist.
c) Geben Sie eine stetig differenzierbare Funktion g : R3 → R mit T = g −1 ({0}) an.
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Termin: Besprechung der Votieraufgaben sowie Abgabe der
schriftlichen Aufgaben: 30/31.05.2016

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