Übungen zu Mathematik II für Dienstag, 3. Mai 2016 33) Berechnen Sie die Torsion der Kurve x(t) = (t − sin t, 1 − cos t, t), t ∈ R. 2 34) Zeigen Sie, dass die Kurve x(t) = ( 1+t , t, 1+t ), t > 0, in einer Ebene t t liegt, indem Sie nachweisen, dass für ihre Torsion τ = 0 gilt. 35) Gegeben sei die Abbildung f : R2 −→ R2 mit 1 x u(x, y) x f (x) = , x= = 2 6= o. 2 y v(x, y) y x +y Bestimmen Sie die Funktionalmatrix von f und untersuchen Sie mithilfe der Funktionaldeterminante, wo f lokal umkehrbar ist. 36) Gegeben sei die vektorwertige Funktion f : R3 −→ R2 mit x 2 x+y z y . f (x) = , x = y 3 − 2xz z Bestimmen Sie die berührende Affinität von f im Punkt P = (1, 0, 1). 37) Bestimmen Sie alle Punkte x0 ∈ R2 , in denen die Abbildung f (x) = f (x, y) = (cosh x cos y, sinh x sin y) konform ist. 38) Ermitteln Sie das Flächenverzerrungsverhältnis der Abbildung f (x) = f (x, y) = (ex cos y, ex sin y) im Punkt x0 = (1, π4 ). 39) Berechnen Sie (a) divf und (b) rotf für die vektorwertige Funktion f (x) = f (x, y, z) = (3xyz 2 , y 2 sin z, xe2z ). 40) Zeigen Sie, dass die vektorwertige Funktion g(x, y, z) = (xy, yz, zx) die Identität div(rot g) = 0 erfüllt.
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