Math. Carsten Zwilling WS 2016/2017 Analysis III Blatt 12 Abgabe

WS 2016/2017
TU Dortmund
Prof. Dr. Matthias Röger
Dipl.-Math. Carsten Zwilling
Analysis III
Blatt 12
Abgabe: 30.01.2017, 12:00
2 ⊂
Aufgabe 34 (4 Punkte). Berechnen Sie den zweidimensionalen Flächeninhalt der Sphäre SR
3
2
3
R mit Radius R > 0, SR = ∂B (0, R), indem Sie eine Halbsphäre als Graph beschreiben. Gehen
Sie dann vor wie in Beispiel 9.5.
Aufgabe 35 (4 Punkte). Zeigen Sie den Satz 9.14 aus der Vorlesung: Sei M ⊂ Rn+k eine
∞
S
n-dimensionale Untermannigfaltigkeit und M =
Mi eine paarweise disjunkte Zerlegung in
i=1
messbare Mengen, so dass Mi ⊂ Vi für lokale Parametrisierungen fi : Ui → Vi . Für eine
messbare Funktion u : M → R̄ gilt dann
Z
∞ Z
X
u dµM =
u(fi (x))Jfi (x) dx
M
i=1
fi−1 (Mi )
falls u ≥ 0 oder u bezüglich µM integrierbar ist.
1
Aufgabe
36 (4 Punkte). i) Sei γ ∈ C ([a, b]; [0, ∞] × R) eine gegebene reguläre Kurve, γ =
γ1
. Sei weiter U = (a, b) × (−π, π) und f : U → R3 definiert durch
γ2


γ1 (t) cos(ϕ)
t
f
=  γ1 (t) sin(ϕ)  .
ϕ
γ2 (t)
Zeigen Sie, dass für die Fläche von f über U gilt:
Z b
A2 (f, U ) = 2π
γ1 (t) γ 0 (t) dt.
a
ii) Sei 0 < a < R < ∞. Betrachten Sie dann die Kurve γ : (0, 2π) → R2 ,
R
a cos(t)
γ : t 7→
+
0
a sin(t)
und definieren Sie f wie in Teil i). Stellen Sie das Bild von f graphisch dar (welches Objekt
wird dadurch beschrieben?) und berechnen Sie mit Hilfe von Teil i) den Inhalt der von f
erzeugten Fläche.
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