Propädeutische Analysis II Serie 20 FS-2015 DEP-MATH Dr. T. Mettler Aufgabe 1. Sei f : R3 → R,   x  y  7→ x 2 · cos(z) + ln(y)z z und ~ γ : [0 , 1] → R3 , so dass  t2 ~ γ(t ) = 2t  . π  Berechnen Sie d dt f (~ γ(t )). a) mittels der direkten Methode; b) mittels der Kettenregel. Aufgabe 2. Seien u, v ∈ R und sei ~ γ : [0 , 2π] → R2 die differenzierbare Kurve definiert mittels µ ¶ u + 2 cos(t ) ~ γ(t ) = . v + sin(t ) i) Seien u = v = 0. Stellen Sie zuerst eine Vermutung auf über die allgemeine Form der Kurve. ii) Skizzieren Sie die Kurve (wobei u = v = 0). iii) Was passiert, wenn man u 6= 0 und v 6= 0 wählt ? R 2π ~ (~ ~ : R2 → R2 ein beliebiges Vektorfeld und sei~ γ(t )), ~ γ˙ (t )〉 dt 6= b) Sei V γ wie zuvor definiert. Wenn 0 〈V ~ sagen? 0 ist, was lässt sich über das Vekorfeld V µ ¶ µ ¶ y 0 + 2 cos(t ) 2 2 2 ~ ~ c) Seien V : R → R , so dass V (x, y) = und~ γ : [0 , 2π] → R so dass~ γ(t ) = . −x 1 + sin(t ) a) ~. i) Skizzieren Sie V R 2π ~ (~ ii) Berechnen Sie das Wegintegral 0 〈V γ(t )), ~ γ˙ (t )〉 dt . Aufgabe 3. In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Niveaulinien einer Funktion f senkrecht zu grad f sind. a) Verifizieren Sie diese Aussage anhand der folgenden Beispiele: p i) f (x, y) = x · y. ii) f (x, y, z) = x y − sin(z). b) Die Niveaulinien von drei Flächen S ∈ R3 sind unten dargestellt. Zeichnen Sie drei mögliche Gradientenvektorfelder. Erklären Sie für jedes Gradientenvektorfeld was sich daraus über S sagen lässt. 2